Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，其中.

（Ⅰ）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）在平面直角坐標系中，設直線與曲線相交于，兩點.若點恰為線段的三等分點，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用消參法消去參數，即可將直線的參數方程轉化為普通方程，利用互化公式，，將曲線的極坐標方程轉化為直角坐標方程；

（Ⅱ）把直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程，得出關于的一元二次方程，根據韋達定理得出和，再利用直線參數方程中的參數的幾何意義，即可求出的值.

解：（Ⅰ）由于直線的參數方程為（為參數），

消去參數，得直線的普通方程為，

由，，

得曲線的直角坐標方程為.

（Ⅱ）將直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程，

并整理，得，

設，是方程的兩個根，則有，

得，，

由于點恰為線段的三等分點，

所以不妨設，

∴，

解得：，符合條件和，

.∴的值為4.