Question

已知函數f(x)=sin(x-

π

2

)(x∈R)，現有四個命題：（1）函數f（x）的最小正周期為2π；（2）函數f（x）在區間[0，

π

2

]上是增函數；（3）函數f（x）的圖象關于直線x=0對稱；（4）函數f（x）是奇函數．其中真命題的個數是（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：借助正弦函數y=sinx的周期性，單調性，對稱性，奇偶性分別求函數f(x)=sin(x-

π

2

)(x∈R)的周期，單調增區間，對稱軸，奇偶性，再與4個命題逐一對比，即可得到真命題個數．

解答：解：函數f(x)=sin(x-

π

2

)(x∈R)，的最小正周期T=

2π

1

=2π，∴（1）正確．
當-

π

2

+2kπ＜x-

π

2

＜

π

2

+2kπ，k∈π時，即2kπ＜x＜π+2kπ，k∈z，函數為增函數，
∴函數f（x）在區間[0，

π

2

]上是增函數，（2）正確．
當x-

π

2

=

π

2

+kπ，k∈z，即x=π+kπ為函數的對稱軸，∴函數f（x）的圖象關于直線x=0對稱．（3）正確．
∵函數f(x)=sin(x-

π

2

)(x∈R)圖象相當于函數y=sinx的圖象向右平移

π

2

個單位，∴圖象關于y軸對稱，為偶函數．∴（4）錯誤．
∴真命題的個數是3個．
故選C

點評：本題主要考查了函數y=Asin（ωx+∅）的周期性，單調性，對稱性，奇偶性的判斷，屬于三角函數的常規題．