Question

【題目】設橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負半軸于點，且，過，三點的圓恰好與直線相切．

求橢圓的方程；

過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于兩點，問在軸上是否存在點，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）存在， .

【解析】

設點的坐標為，且，利用以及得出點的坐標，利用外接圓圓心到該直線的距離等于半徑，可求出的值，進而得出與的值，從而得出橢圓的方程；令，得出，設點、，將直線l的方程與橢圓的方程聯立，利用韋達定理，求出線段的中點的坐標，將條件“以為鄰邊的平行四邊形是菱形”轉化為，得出這兩條直線的斜率之積為，然后得出的表達式，利用不等式的性質可求出實數的取值范圍．

設橢圓C的焦距為，則點的坐標為，點的坐標為，設點Q的坐標為，且，

如下圖所示，

，，

，則，所以，，則點Q的坐標為，

直線與直線AQ垂直，且點，所以，，，

由，得，則，．

為直角三角形，且為斜邊，

線段的中點為，的外接圓半徑為2c．

由題意可知，點到直線的距離為，

所以，，，，

因此，橢圓C的方程為.

由題意知，直線的斜率，并設，則直線l的方程為，

設點、

將直線的方程與橢圓C的方程聯立，

消去x得，

由韋達定理得，．

，．

所以，線段MN的中點為點．

由于以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，則，則，所以，．

由兩點連線的斜率公式可得，得．

由于，則，所以，，所以，．

因此，在x軸上存在點，使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，

且實數m的取值范圍是．