Question

【題目】在野外施工中，需要使質量的鋁合金構件升溫；除了保溫瓶中尚存有溫度的的熱水外，無其他熱源。試提出一個操作方案，能利用這些熱水使構件從溫度升溫到66.0℃以上（含66.0℃）。請通過計算驗證你的方案，并討論構件最高可能升高到多少度。

已知鋁合金的比熱容，水的比熱容，不計向周圍環境散失的熱量。

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）操作方案：將保溫瓶中的熱水分若干次（＞5次）倒出來。第一次先例出一部分，與溫度為的構件充分接觸，并達到熱平衡，構件溫度已升高到，將這部分溫度為的水倒掉。再從保溫瓶倒出一部分熱水，再次與溫度為的構件充分接觸，并達到熱平衡，此時構件溫度已升高到,再將這些溫度為的水倒掉。然后再從保溫瓶中倒出一部分熱水來使溫度為的構件升溫……直到最后一次，將剩余的熱水全部倒出來與構件接觸，達到熱平衡。只要每部分水的質量足夠小，最終就可使構件的溫度達到所要求的值。

2．驗證計算

①若將1.200kg熱水分4次倒，每次倒出0.300kg,依次算出的值，得下表中的數據：

。

②將1.200kg熱水分5次倒出來，每次倒出0.240kg,在第一次使熱水與構件達到熱平衡的過程中，水放熱為。構件吸熱為。

由及題給的數據，可得。

同理，第二次倒出0.240kg熱水后，可使構件升溫到。

依次計算出的數值，分別列在下表中。

可見，所以，如果將熱水等分后倒到構件上，要使構件的溫度達到66.0℃以上，則倒出次數不能少于5次。

下面討論構件可能上升到的溫度。

由上面的計算可知，熱水等分的次數越多，構件升溫也就越高，那么，如果每次都像上述的方法進行操作，并不計向周圍散失的熱量，構件可能到達的最高溫度是多少呢？

假設將熱水分為n等分，則每一等分的質量為，然后再按前面的操作方式一份一份地與構件接觸。設第i次接觸后構件的溫度為。

第一次接觸后，有，

解得。

取，，

有。

第二次接觸后，有，

解得。

第三次接觸后，有，

解得。

…

依此類推，可得

。

當時，有

（1）

。

利用極限。

可知。

（2），

通過計算可得

，

所以

。

代入數據得。

此即構件可能達到的最高溫度。