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“智慧”數學小組在課外數學活動中研究了一個問題，請幫他們解答．

任務一：如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E，F分別為AB，AD邊的中點，四邊形AEGF為矩形，連接CG．

（1）請直接寫出CG的長是______．

（2）如圖2，當矩形AEGF繞點A旋轉（比如順時針旋轉）至點G落在邊AB上時，請計算DF與CG的長，通過計算，試猜想DF與CG之間的數量關系．

（3）當矩形AEGF繞點A旋轉至如圖3的位置時，（2）中DF與CG之間的數量關系是否還成立？請說明理由．

任務二：“智慧”數學小組對圖形的旋轉進行了拓展研究，如圖4，在ABCD中，∠B=60°，AB=6，AD=8，E，F分別為AB，AD邊的中點，四邊形AEGF為平行四邊形，連接CG．“智慧”數學小組發現DF與CG仍然存在著特定的數量關系．

（4）如圖5，當AEGF繞點A旋轉（比如順時針旋轉），其他條件不變時，“智慧”數學小組發現DF與CG仍然存在著這一特定的數量關系．請你直接寫出這個特定的數量關系．

問題情境

在綜合實踐課上，老師讓同學們探究“平面直角坐標系中的旋轉問題”．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是矩形，點，點，點．

操作發現

以點為中心，順時針旋轉矩形，得到矩形，點，，的對應點分別為，，．

（1）如圖①，當點落在邊上時，求點的坐標；

繼續探究

（2）如圖②，當點落在線段上時，與交于點．

①求證；

②求點的坐標．

拓展探究

（3）如圖①，點是軸上任意一點，點是平面內任意一點，是否存在點使以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

在數學中，當問題的條件不夠時間，常添加輔助線構成新圖形，形成新關系，建立已知與未知的橋梁，從而把原問題轉化為易于解決的問題．在著名美籍匈牙利數學教波利亞所著的《數學的發現》一書中有這樣一個例子：試作一個三角形，使它的三邊長分別是各條中線長的三分之一，解決這個問題的步驟如下：

第一步，如圖1，己知的三條中線，和相交于點，則有．

下面是該結論的部分證明過程：

證明：如圖1，過點作的平分線，交的延長線于點，則．

又，

∴．

∴．

∵點是的中點，

∴．

……

第二步，同理可以證明：．

第三步，如圖2，取BM的中點，連接.則的三邊長分別是各條中線長的三分之一．

任務：（1）請在上面第一步中證明過程的基礎上完成對結論的證明；

（2）請完成第三步的結論的證明；

（3）請直接寫出圖2中與的面積比：_______．

【題目】從共享單車，共享汽車等共享出行到共享充電寶，共享雨傘等共享物品，各式各樣的共享經濟模式在各個領域迅速普及應用，越來越多的企業與個人成為參與者與受益者．小宇和小強分別對共享經濟中的“共享出行”和“共享知識”最感興趣，他們上網查閱了相關資料，順便收集到四個共享經濟領域的圖標，并將其制成編號為，，，的四張卡片（除編號和內容外，其余完全相同）他們將這四張卡片背面朝上，洗勻放好，從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法求抽到的兩張卡片恰好是“共享出行”和“共享知識”的概率（這四張卡片分別用它們的編號，，，表示）

（1）當降價0.2元時，平均每月銷售膠帶______個；

（2）攤主要想平均每月贏利180元，且盡可能讓利與顧客，應該如何定價？

（3）在（2）的條件下，每個膠帶的利潤率是______．

A. 若 AD 平分∠BAC，則四邊形 AEDF 是菱形

B. 若 BD＝CD，則四邊形 AEDF 是菱形

C. 若 AD 垂直平分 BC，則四邊形 AEDF 是矩形

D. 若 AD⊥BC，則四邊形 AEDF 是矩形

（1）當∠1=∠2時，求證：∠DOQ=∠DPC；

（2）當（1）的條件下，求證：DQ·PC=BD·DO；

（3）如果點P由點B向點C移動，每秒移動2個單位，同時點Q由點D向點A移動，每秒移動1個單位，設移動的時間為t秒，是否存在某一時刻，使得△BOP為直角三角形，如果存在，請直接寫出t的值；如果不存在，請說明理由．

【題目】如圖，二次函數的圖像與軸相交于點A(-1，0)，B(4，0)，與軸相交于點C．

（1）求該函數的表達式；

（2）若點P（2，m）為該函數在第一象限內的圖象上一點，過點P作PQ⊥BC，垂足為點Q，連接PC，求線段PQ的長；

（3）在（2）的條件下，點M為該函數圖象上一點，且∠MAP=45°，求點M的坐標．

已知該運動服的進價為每件60元，設售價為元．

（1）請用含x的式子表示：①銷售該運動服每件的利潤是 元；②月銷量是 件；（直接寫出結果）

（2）設銷售該運動服的月利潤為元，那么售價為多少時，當月的利潤最大，最大利潤是多少？

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）當四邊形AECF是菱形時，求AF的長．