Question

【題目】綜合與探究

問題情境

在綜合實踐課上，老師讓同學們探究“平面直角坐標系中的旋轉問題”．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是矩形，點，點，點．

操作發現

以點為中心，順時針旋轉矩形，得到矩形，點，，的對應點分別為，，．

（1）如圖①，當點落在邊上時，求點的坐標；

繼續探究

（2）如圖②，當點落在線段上時，與交于點．

①求證；

②求點的坐標．

拓展探究

（3）如圖①，點是軸上任意一點，點是平面內任意一點，是否存在點使以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②；（3）存在，，，，

【解析】

（1）根據矩形的性質得到OB＝AC＝3，OA＝BC＝5，∠C＝90°，根據旋轉變換的性質得到AD＝OA＝5，根據勾股定理求出CD，得到點D的坐標；
（2）①根據旋轉變換的性質得到OA＝DA，∠AOB＝∠ADE＝90°，利用HL定理證明△ADB≌△AOB；
②根據全等三角形的性質得到BD＝BO＝AC，根據△BDH≌△ACH，得到DH＝CH，根據勾股定理求出CH，得到點H的坐標；

（3）分四種情況進行討論：①當四邊形ADNM為菱形，且點N在點D左側時；②當四邊形ADNM為菱形，且點N在點D右側時；③當四邊形ADMN為菱形時，④當四邊形ANDM為菱形時，根據菱形的性質即可求解．

（1）如圖①中，

∵，，

∴，，

∵四邊形是矩形，

∴，，，

∵矩形是由矩形旋轉得到，

∴，

在中，，

∴，

∴

（2）①如圖②中，

由四邊形是矩形，得到，

點在線段上，

，

由（1）可知，，又，，

∴

②∵，

∴，

又在矩形中，，

∴，

∴，

∴，設，則，

在中，∵，

∴，

∴，

∴，

∴.

（3）存在，

①當四邊形ADNM為菱形，且點N在點D左側時，

∵AD=5，

∴ND=AD=AM=5，

又BD=1，

∴BN=5-1=4，

∵點M在x軸上，

∴DN∥AM，

∴N（-4,3）

②當四邊形ADNM為菱形，且點N在點D右側時，

∵AD=5，

∴ND=AD=AM=5，

又BD=1，

∴BN=5+1=6，

∵點M在x軸上，

∴DN∥AM，

∴N（6,3）

③當四邊形ADMN為菱形時，

∵點M在x軸上，

∴點D與點N關于x軸對稱，

∵D（1，3）,

∴N（1，-3）

④當四邊形ANDM為菱形時，則MN⊥AD，

∵AM∥DC，點M在x軸上，

∴點N在BC上，DN=AN，

設CN=a，則DN=AN=4-a，

∴,即，解得：a=,

∴BN=，

故

綜上所述：，，，