Question

拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點，P為拋物線的頂點，若∠APB=120°，則b²-4ac=______．

Answer 1

如圖，作PD⊥x軸于D，
設A、B點坐標分別為x₁、x₂，
則AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- b a )2-4 c a

=

b2-4ac

|a|

；
拋物線頂點坐標為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
則DP的長為|

4ac-b2

4a

|，
∵∠APB=120°，
由拋物線是軸對稱圖形可知，△APB為等腰三角形，
可知，∠PAD=∠PBD=

180°-120°

2

=30°，
于是DP=tan30°•AD=

1

2

tan30°•AB，
即|

4ac-b2

4a

|=

1

2

×

3

3

×

b2-4ac

|a|

，
兩邊平方得，

(4ac-b2)2

16a2

=

b2-4ac

12a2

，
去分母得，3（b²-4ac）²=4（b²-4ac），
移項得，3（b²-4ac）²-4（b²-4ac）=0，
（b²-4ac）[3（b²-4ac）-4]=0，
解得b²-4ac=0或b²-4ac=

4

3

．
由于拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點，故△＞0，
即b²-4ac=

4

3

．
故答案為

4

3

．