Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E為對角線AC上的一點，連接BE，DE．

（1）如圖1，求證：△BCE≌△DCE；

（2）如圖2，延長BE交直線CD于點F，G在直線AB上，且FG=FB．

①求證：DE⊥FG；

②已知正方形ABCD的邊長為2，若點E在對角線AC上移動，當△BFG為等邊三角形時，求線段DE的長。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②DE=2（﹣1）

【解析】試題分析：（1）利用判定定理（SAS）可證；

（2）①利用（1）的結論與正方形的性質，只需證明∠FDE+∠DFG=90°即可；

②由DE⊥FG可構造直角三角形，利用等邊三角形的性質及三角函數可求DE的長．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，AC是其對角線，

∴∠DCE=∠BCE，CD=CB

在△BCE與△DCE中，

∴△BCE≌△DCE（SAS）．

（2）①∵由（1）可知△BCE≌△DCE，

∴∠FDE=∠FBC

又∵四邊形ABCD是正方形，

∴CD∥AB，

∴∠DFG=∠BGF，∠CFB=∠GBF，

又∵FG=FB，

∴∠FGB=∠FBG，

∴∠DFG=∠CFB，

又∵∠FCB=90°，

∴∠CFB+∠CBF=90°，

∴∠EDF+∠DFG=90°，

∴DE⊥FG

②如下圖所示，

∵△BFG為等邊三角形，

∴∠BFG=60°，

∵由（1）知∠DFG=∠CFB=60°，

在Rt△FCB中，∠FCB=90°，

∴FC=CBcot60°=，DF=2-，

又∵DE⊥FG，

∴∠FDE=∠FED=30°，OD=OE，

在Rt△DFO中，

OD=DFcos30°=-1，

∴DE=2（-1）