Question

【題目】在正方形ABCD中，點E為AD中點，DF=CD，則下列說法：（1）BE⊥EF；（2）圖中有3對相似三角形；（3）E到BF的距離為AB；（4）=．其中正確的有（ ）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個

Answer 1

【答案】B

【解析】

試題分析：根據正方形的性質得到AD=AB=BC=CD，∠A=∠ABC=C=∠D=90°，由于點E為AD中點，DF=CD，于是得到=2，推出△ABE∽△DEF，根據相似三角形的性質得到∠ABE=∠DEF，根據平角的定義得到∠BEF=90°，于是求得BE⊥EF；故①正確；根據相似三角形的性質得到，等量代換得到，推出△ABE∽△BEF，于是得到△ABE∽△BEF∽△DEF，即可得到圖中有3對相似三角形；故②正確；根據相似三角形的性質得到∠ABE=∠EBF，根據角平分線的性質得到E到BF的距離=AE，于是得到E到BF的距離為AB；故③正確；設DF=1，則AE=DE=2，AB=BC=CD=4，由勾股定理得到BE==2，EF==，求得S△BEF=BEEF=5，S△BCF=BCCF==6于是得到=，故④錯誤．

解：在正方形ABCD中，

∵AD=AB=BC=CD，∠A=∠ABC=C=∠D=90°，

∵點E為AD中點，DF=CD，

∴=2，

∴△ABE∽△DEF，

∴∠ABE=∠DEF，

∵∠AEB+∠ABE=90°，

∴∠AEB+∠DEF=90°，

∴∠BEF=90°，

∴BE⊥EF；故①正確；

∵△ABE∽△DEF，

∴，

∴，

∵∠A=∠BEF=90°，

∴△ABE∽△BEF，

∴△ABE∽△BEF∽△DEF，

∴圖中有3對相似三角形；故②正確；

∵△ABE∽△BEF，

∴∠ABE=∠EBF，

∴E到BF的距離=AE，

∴E到BF的距離為

設DF=1，則AE=DE=2，AB=BC=CD=4，

∴CF=3，

∴BE==2，EF==，

∴S△BEF=BEEF=5，S△BCF=BCCF==6

∴=，故④錯誤，

故選B．