Question

如圖，AB是O的直徑，AE交O于點E，且與O的切線CD互相垂直，垂足
為D。

（1）求證：∠EAC＝∠CAB；
（2）若CD＝4，AD＝8：
①求O的半徑；
②求tan∠BAE的值。

Answer 1

（1）證明見解析（2）①5，②

（1）證明：連接OC。 

∵CD是⊙O的切線，∴CD⊥OC。
又∵CD⊥AE，∴OC∥AE。∴∠1＝∠3。
∵OC＝OA，∴∠2＝∠3。
∴∠1＝∠2，即∠EAC＝∠CAB。
（2）解：①連接BC。

∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AE于點D，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°。
∵∠1＝∠2，∴△ACD∽△ABC。∴。
∵AC²＝AD²＋CD²＝4²＋8²＝80，
∴AB＝＝10。
∴⊙O的半徑為10÷2＝5。
②連接CF與BF。

∵四邊形ABCF是⊙O的內接四邊形，
∴∠ABC＋∠AFC＝180°。
∵∠DFC＋∠AFC＝180°，∴∠DFC＝∠ABC。
∵∠2＋∠ABC＝90°， ∠DFC＋∠DCF＝90°，
∴∠2＝∠DCF。
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DCF。
∵∠CDF＝∠CDF，∴△DCF∽△DAC。∴。∴DF＝＝2。
∴AF＝AD－DF＝8－2＝6。
∵AB是⊙O的直徑，∴∠BFA＝90°。
∴BF＝＝8。∴tan∠BAD＝。    
（1）連接OC，由CD是⊙O的切線，CD⊥OC，又由CD⊥AE，即可判定OC∥AE，根據平行線的性質與等腰三角形的性質，即可證得∠EAC=∠CAB。
（2）①連接BC，易證得△ACD∽△ABC，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得AB的長，
從而可得⊙O的半徑長。
②連接CF與BF．由四邊形ABCF是⊙O的內接四邊形，易證得△DCF∽△DAC，然后根據
相似三角形的對應邊成比例，求得AF的長，又由AB是⊙O的直徑，即可得∠BFA是直角，利用勾股定理求得BF的長，即可求得tan∠BAE的值。