Question

【題目】已知，直線，點為平面內一點，連接與.

（1）如圖1，點在直線、之間，若，，求的度數.

（2）如圖2，點在直線、之間，與的角平分線相交于點，寫出與之間的數量關系，并說明理由.

（3）如圖3，點在直線下方，與的角平分線相交于點，直接寫出與的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）∠APC=80°；（2）∠AKC=∠APC；（3）∠AKC=∠APC.

【解析】

（1）先過P作PE∥AB，根據平行線的性質即可得到∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，再根據∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP進行計算即可；

（2）過K作KE∥AB，根據KE∥AB∥CD，可得∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，進而得到∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，再根據角平分線的定義，得出∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=（∠BAP+∠DCP）=∠APC，進而得到∠AKC=∠APC；

（3）過K作KE∥AB，根據KE∥AB∥CD，可得∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，進而得到∠AKC=∠AKE-∠CKE=∠BAK-∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP-∠DCP，再根據角平分線的定義，得出∠BAK-∠DCK=∠BAP-∠DCP=（∠BAP-∠DCP）=∠APC，進而得到∠AKC=∠APC．

(1)如圖1,過P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°；

(2)∠AKC=∠APC.

理由：如圖2,過K作KE∥AB，

∵AB∥CD，

∴KE∥AB∥CD，

∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，

∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，

過P作PF∥AB，

同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，

∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，

∴∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP= (∠BAP+∠DCP)= ∠APC，

∴∠AKC=∠APC；

(3)∠AKC=∠APC.

理由：如圖3,過K作KE∥AB，

∵AB∥CD，

∴KE∥AB∥CD，

∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，

∴∠AKC=∠AKE∠CKE=∠BAK∠DCK，

過P作PF∥AB，

同理可得，∠APC=∠BAP∠DCP，

∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，

∴∠BAK∠DCK=∠BAP∠DCP=(∠BAP∠DCP)=∠APC，

∴∠AKC=∠APC.