Question

【題目】如圖，在正方ABCD中，E是AB邊上任一點，BG⊥CE，垂足為O，交AC于點F，交AD于點G．

（1）證明：BE＝AG；

（2）E位于什么位置時，∠AEF＝∠CEB？說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）當點E位于線段AB中點時，∠AEF=∠CEB ,理由見解析

【解析】

(1) 根據正方形的性質利用ASA判定△GAB≌△EBC，根據全等三角形的對應邊相等可得到AG=BE；

(2) 利用SAS判定△GAF≌△EAF，從而得到∠AGF=∠AEF，由△GAB≌△EBC可得到∠AGF=∠CEB,則∠AEF=∠CEB．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形

∴∠ABC=∠BAD=90°，∴∠1+∠3=90°，

∵BG⊥CE,∴∠BOC=90°∴∠2+∠3=90°,

∴∠1=∠2,

在△GAB和△EBC中，

∵∠GAB=∠EBC=90°,AB=BC,∠1=∠2,

∴△GAB≌△EBC (ASA) ,

∴AG=BE;

（2）解：當點E位于線段AB中點時，∠AEF=∠CEB ,

理由如下：若當點E位于線段AB中點時，則AE=BE,

由（1）可知，AG=BE,

∴AG=AE,

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠GAF=∠EAF=45°,

又∵AF=AF,

∴△GAF≌△EAF (SAS),

∴∠AGF=∠AEF,

由（1）知，△GAB≌△EBC,

∴∠AGF=∠CEB,

∴∠AEF=∠CEB.