Question

【題目】如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折疊紙片使B點落在邊AD上的E處，折痕為PQ，過點E作EF∥AB交PQ于F，連接BF．

（1）求證：四邊形BFEP為菱形；

（2）當點E在AD邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動；

①當點Q與點C重合時（如圖2），求菱形BFEP的邊長；

②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動，求出點E在邊AD上移動的最大距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①菱形BFEP的邊長為cm；②點E在邊AD上移動的最大距離為2cm．

【解析】試題分析：（1）由折疊的性質得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行線的性質得出∠BPF=∠EFP，證出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可得出結論；

（2）①由矩形的性質得出BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，由對稱的性質得出CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE=4cm，得出AE=AD﹣DE=1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP=cm即可；

②當點Q與點C重合時，點E離點A最近，由①知，此時AE=1cm；當點P與點A重合時，點E離點A最遠，此時四邊形ABQE為正方形，AE=AB=3cm，即可得出答案．

試題解析：解：（1）∵折疊紙片使B點落在邊AD上的E處，折痕為PQ，∴點B與點E關于PQ對稱，∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF．又∵EF∥AB，∴∠BPF=∠EFP，∴∠EPF=∠EFP，∴EP=EF，∴BP=BF=EF=EP，∴四邊形BFEP為菱形；

（2）①∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°．∵點B與點E關于PQ對稱，∴CE=BC=5cm．在Rt△CDE中，DE==4cm，∴AE=AD﹣DE=5cm﹣4cm=1cm．

在Rt△APE中，AE=1，AP=3﹣PB=3﹣PE，∴EP2=12+（3﹣EP）2，解得：EP=cm，∴菱形BFEP的邊長為cm；

②當點Q與點C重合時，如圖2：

點E離點A最近，由①知，此時AE=1cm；

當點P與點A重合時，如圖3所示：

點E離點A最遠，此時四邊形ABQE為正方形，AE=AB=3cm，∴點E在邊AD上移動的最大距離為2cm．