Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）拋物線的對稱軸上是否存在一點，使的周長最小？若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

（3）設拋物線上有一個動點，當點在該拋物線上滑動到什么位置時，滿足，并求出此時點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）存在；M（1，﹣2）；（3）（1+2，4）或（1﹣2 ，4）或（1，﹣4）.

【解析】

（1）由于拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，那么可以得到方程x2+bx+c=0的兩根為x=-1或x=3，然后利用根與系數即可確定b、c的值；

（2）點B是點A關于拋物線對稱軸的對稱點，在拋物線的對稱軸上有一點M，要使MA+MC的值最小，則點M就是BC與拋物線對稱軸的交點，利用待定系數法求出直線BC的解析式，把拋物線對稱軸x=1代入即可得到點M的坐標；

（3）根據S△PAB=8，求得P的縱坐標，把縱坐標代入拋物線的解析式即可求得P點的坐標．

（1）∵拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，

∴方程x2+bx+c=0的兩根為x=﹣1或x=3，

∴﹣1+3=﹣b，

﹣1×3=c，

∴b=﹣2，c=﹣3，

∴二次函數解析式是y=x2﹣2x﹣3．

（2）∵點A、B關于對稱軸對稱，

∴點M為BC與對稱軸的交點時，MA+MC的值最小，

設直線BC的解析式為y=kx+t（k≠0），

則，解得：，

∴直線AC的解析式為y=x﹣3，

∵拋物線的對稱軸為直線x=1，

∴當x=1時，y=﹣2，

∴拋物線對稱軸上存在點M（1，﹣2）符合題意；

（3）設P的縱坐標為|yP|，

∵S△PAB=8，

∴AB|yP|=8，

∵AB=3+1=4，

∴|yP|=4，

∴yP=±4，

把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，

解得，x=1±2，

把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，

解得，x=1，

∴點P在該拋物線上滑動到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）時，滿足S△PAB=8．