Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線交AB于點E，交AC的延長線于點F．

（1）求證：DE⊥AB；

（2）若tan∠BDE=, CF=3，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6

【解析】試題分析：連接OD，則有OD⊥EF，然后證明OD//AB即可得；

（2）連接AD，則有∠ADB=90°，通過證明△FCD∽△FDA ，可得 FC：FD=CD：DA，再根據tan∠BDE= ，通過推導即可得．

試題解析：（1）連接OD．∵EF切⊙O于點D，∴OD⊥EF．

又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠OCD，∴∠ABC=∠ODC，

∴AB∥OD，∴DE⊥AB；

（2）連接AD．

∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°， ∴∠B+∠BDE=90°，∠B+∠1=90°，

∴∠BDE=∠1，

∵AB=AC，∴∠1=∠2，又∵∠BDE =∠3，∴∠2=∠3，

∴△FCD∽△FDA ，∴ ，

∵tan∠BDE=,∴tan∠2= ，

∴，∴，

∵CF=3，∴FD=6．