Question

【題目】閱讀下面材料，并回答問題：

定義：平面內與一個定點F和一條定直線l（l不經過點F）距離相等的所有點組成的圖形叫拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．

應用：（1）如圖1，一條拋物線的焦點為F(0，1)，準線為過點(0，-1)且平行于x軸的直線l；設點P(x，y)為拋物線上任意一點，小聰同學在應用定義求這條拋物線的解析式時作出了如下不完整的解答，請你將余下部分補充出來．

解：設點P(x，y)為拋物線上任意一點，作PM⊥l于點M，則PM=_________

作PN⊥y軸于點N，則在△PFN中，有PN=，NF=，所以PF=__________

∵PF=PM

∴_________=____________，

將方程兩邊同時平方，解得拋物線的解析式為_____________

（2）如圖2，在（1）的條件下，點A(1，3)是坐標平面內一點，則△FAP的周長最小值為________

（3）在（1）（2）的條件下，如圖3，點B(4，4)是坐標平面內另一點，過P作PH⊥l，垂足為H，連接PF和FH，問在拋物線上是否存在點P，使得以P，F，H為頂點的三角形與△ABO相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y+1，，y+1，，；（2）；（3）存在，(1，)或(﹣1，)

【解析】

(1)設點P(x，y)為拋物線上任意一點，作PM⊥l于點M，根據拋物線的定義PF=PM以及兩點間的距離公式得到=，即可求解；

(2)拋物線的定義知PF=PM，為定長，故當點A、P、M在同一直線上時，△FAP的周長最小，利用兩點間的距離公式即可求得最小值；

(3)根據兩點間的距離公式求得AB= AO=，由拋物線的定義知PF=PH，再根據相似三角形的性質得到，即可求解．

(1)設點P(，)為拋物線上任意一點，作PM⊥于點M，則PM=，

作PN⊥y軸于點N，則在△PFN中，有PN=，NF=，所以PF=，

∵PF=PM，

∴=，

將方程兩邊同時平方，解得拋物線的解析式為；

故答案為：y+1，，y+1，，；

(2)∵PF=PM，

∴點A、P、M在同一直線上時，△FAP的周長最小，如圖：

，，

∴△FAP的周長最小值為：；

(3)存在，理由如下：

∵AB==，AO==，OB==4，

∴AB=OA，

∵PF=PH，

假設存在這樣的點P，使得以P，F，H為頂點的三角形與△ABO相似，

則PH與AB，FH與OB是對應邊，

∴，

設點P(m，m2)，則H為(m，-1)，

則，

∴，

解得：，

∴點P坐標(1，)或(﹣1，)．