Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與軸、軸相交于點B、C，經過點B、C的拋物線與軸的另一個交點為A．

（1）求出拋物線表達式，并求出點A坐標；

（2）已知點D在拋物線上，且橫坐標為3，求出△BCD的面積；

（3）點P是直線BC上方的拋物線上一動點，過點P作PQ垂直于軸，垂足為Q．是否存在點P，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x+4，A（-1，0）；（2）18；（3）P（5，4）或P（，）時，點A、P、Q為頂點的三角形與△BOC相似．

【解析】

（1）求出B（6，0），C（0，4）并代入y=-x2+bx+c，即可求出解析式；
（2）求出D（3，8），過點D作y軸的垂線交于點E，過點B作BF⊥DE交ED的延長線于點F；則E（0，8），F（6，8），所以S△BCD=S梯形ECBF-S△CDE-S△BFD=（EC+BF）×OB-×EC×ED-×DF×BF，再由所求點確定各邊長即可求面積；
（3）點A、P、Q為頂點的三角形與△BOC相似有兩種情況：①△PAQ∽△CBO時，由 ，則，求出m；②△PAQ∽△BCO時， ，則有 ，求出m．

（1）由已知可求B（6，0），C（0，4），
將點B（6，0），C（0，4）代入y=-x2+bx+c，

則有 ，
解得 ，
∴y=-x2+x+4，
令y=0，則-x2+x+4=0，
解得x=-1或x=6，
∴A（-1，0）；
（2）∵點D在拋物線上，且橫坐標為3，
∴D（3，8），
過點D作y軸的垂線交于點E，過點B作BF⊥DE交ED的延長線于點F；
∴E（0，8），F（6，8），
∴S△BCD=S梯形ECBF-S△CDE-S△BFD=（EC+BF）×OB-×EC×ED-×DF×BF
=×（4+8）×6-×4×3-×3×8
=36-6-12
=18；
（3）設P（m，-m2+m+4），
∵PQ垂直于x軸，
∴Q（m，0），且∠PQO=90°，
∵∠COB=90°，
∴點A、P、Q為頂點的三角形與△BOC相似有兩種情況：
①△PAQ∽△CBO時， ，
∴，
解得m=5或m=-1，
∵點P是直線BC上方的拋物線上，
∴0≤m≤6，
∴m=5，
∴P（5，4）；
②△PAQ∽△BCO時，，
∴ ，
解得m=-1或m=，
∵點P是直線BC上方的拋物線上，
∴0≤m≤6，
∴m=，
∴P（，）；
綜上所述：P（5，4）或P（，）時，點A、P、Q為頂點的三角形與△BOC相似．