Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，6）．動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O、動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，分別沿著OA方向、AB方向均以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（0＜t≤5）．以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的⊙P與AB、OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D，連結(jié)CD、QC．

（1）求當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？
（2）設(shè)△QCD的面積為S，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系，并求S的最大值？
（3）若⊙P與線段QC只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

（1） 
（2）。
S的最大值為15。
（3）或

解析分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，根據(jù)點(diǎn)Q的速度表示出OQ，然后求出AQ，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ADC=90°，再利用∠BAO的余弦表示出AD，然后列出方程求解即可。
解：∵A（8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6。
∴。
∵點(diǎn)Q的速度是1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，∴OQ=t。∴AQ=OA－OQ=8－t。
∵⊙P的直徑為AC，∴∠ADC=90°。
∴，即，解得。
當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，AD=AQ，
∴，解得。
∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合。
（2）利用∠BAO的正弦表示出CD的長(zhǎng)，然后分點(diǎn)Q、D重合前與重合后兩種情況表示出QD，再利用三角形的面積公式列式整理，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答。
解：，即，解得。
①點(diǎn)Q、D重合前，即時(shí)，，
∴△QCD的面積為。
∵，
∴當(dāng)t=時(shí)，S有最大值為。
②點(diǎn)Q、D重合后，即時(shí)，，
∴△QCD的面積為。
∵，∴當(dāng)時(shí)，S隨t的增大而增大。
∴當(dāng)t=5時(shí)，S有最大值為：。
綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為。
∵15＞，∴S的最大值為15。
（3）①點(diǎn)Q、D重合前，即時(shí)，CQ與⊙P相切時(shí)t的值最大，此時(shí)，CQ⊥AB，AQ=8－t，
∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°，∴△ACQ∽△AOB。
∴，即，解得t=。
∴⊙P與線段QC只有一個(gè)交點(diǎn)，t的取值范圍為。
②點(diǎn)Q、D重合后，即時(shí)，⊙P與線段QC只有一個(gè)交點(diǎn)。