Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)中，四邊形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合．連接CP，D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn)，連接PD．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)∠CPD=∠OAB，且

BD

AB

=

5

8

，求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）依題意可得∠BAQ=∠COA，已知AB=4，∠COA度數(shù)利用三角函數(shù)可求出BQ，AQ，OQ的值．
（2）利用相似三角形的判定證明△OCP∽△APD，根據(jù)等比性質(zhì)可求出AP，OP的值．

解答：解：（1）作BQ⊥x軸于Q．
∵四邊形OABC是等腰梯形，
∴∠BAQ=∠COA=60°
在Rt△BQA中，BA=4，
BQ=AB•sin∠BAO=4×sin60°=2

3

（1分）
AQ=AB•cos∠BAO=4×cos60°=2，（1分）
∴OQ=OA-AQ=7-2=5
點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，2

3

）（1分）

（2）∵∠CPA=∠OCP+∠COP，
即∠CPD+∠DPA=∠COP+∠OCP，
而∠CPD=∠OAB=∠COP=60°，
∴∠OCP=∠APD．（1分）
∵∠COP=∠PAD，（1分）
∴△OCP∽△APD．（1分）
∴

OP

AD

=

OC

AP

．
∴OP•AP=OC•AD．（1分）
∵

BD

AB

=

5

8

，且AB=4，
∴BD=

5

8

AB=

5

2

，
AD=AB-BD=4-

5

2

=

3

2

．
∵AP=OA-OP=7-OP，
∴OP（7-OP）=4×

3

2

，（1分）
解得：OP=1或6．
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，0）或（6，0）．（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰梯形性質(zhì)的運(yùn)用，難度中上．