Question

【題目】如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC，△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP．

（1）直接寫出AB與AP所滿足的數量關系：_____，AB與AP的位置關系：_____；

（2）將△ABC沿直線l向右平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q，連接AP，BQ，求證：AP=BQ；

（3）將△ABC沿直線l向右平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q，連接AP，BQ，試探究AP=BQ是否仍成立？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB=AP，AB⊥AP；（2）證明見解析；（3）成立，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）AB=AP，AB⊥AP，已知AC⊥BC且AC=BC，可得△ABC為等腰直角三角形，所以∠BAC=∠ABC=45°，根據已知條件易證∠PEF=45°，即可得∠BAP=90°，結論得證；（2）根據已知條件易證Rt△BCQ≌Rt△ACP，根據全等三角形的性質即可得結論；（3）結論仍成立，類比（2）方法證明即可．

試題解析：

（1）AB=AP；AB⊥AP；

證明：∵AC⊥BC且AC=BC，

∴△ABC為等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠ABC=（180°﹣∠ACB）=45°，

易知，△ABC≌△EFP，

同理可證∠PEF=45°，

∴∠BAP=45°+45°=90°，

∴AB=AP且AB⊥AP；

故答案為：AB=AP AB⊥AP

（2）證明：

∵EF=FP，EF⊥FP

∴∠EPF=45°．

∵AC⊥BC，

∴∠CQP=∠EPF=45°

∴CQ=CP

在 Rt△BCQ和Rt△ACP中，

∴Rt△BCQ≌Rt△ACP （SAS）．

∴AP=BQ．

（3）AP=BQ成立，理由如下：

∵EF=FP，EF⊥FP，

∴∠EPF=45°．

∵AC⊥BC

∴∠CPQ=∠EPF=45°

∴CQ=CP

在 Rt△BCQ和Rt△ACP中，

∴Rt△BCQ≌Rt△ACP （SAS）．

∴AP=BQ．