Question

【題目】綜合與實踐：

動手操作：如圖1，四邊形是一張矩形紙片，，點分別在邊上，且，連接，將分別沿折疊，點分別落在點處．

探究展示：（1）“刻苦小組”發現：，且，并展示了如下的證明過程．

證明：在矩形中，，，

又∵，

∴，

∴，，

∵，

∴（依據1）

∴，

∴（依據2）

反思交流：①上述證明過程中的“依據1”與“依據2”分別指什么？

②“勤奮小組”認為：還可以通過證明四邊形是平行四邊形獲證，請你根據“勤奮小組”的證明思路寫出證明過程．

猜想證明：（2）如圖2，折疊過程中，當點在直線的同側時，延長交于點，延長交于點中，則四邊形是什么特殊四邊形？請說明理由．

聯想拓廣：（3）如圖3，連接，

①當時，的長為_____________________；

②的長有最小值嗎？若有，請你直接寫出的最小值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①兩直線平行，內錯角相等；同位角相等，兩直線平行；②詳見解析；（2）四邊形是矩形，詳見解析；（3）①，②的長有最小值，最小值為2，理由見詳解．

【解析】

（1）①填寫相應的平行線的性質及判定定理即可；

②利用一組對邊平行且相等證得四邊形是平行四邊形即可；

（2）延長，交于點，由對折可知，，進而可證得，同理，，再由（1）得，幾何折疊性質可得，利用等角的余角相等可得，進一步得到，最終證得，最后利用有三個角是直角的四邊形是矩形可得四邊形是矩形；

（3）①延長交BC于點H，反向延長交AD于點K，可證得BH=BC=4，進而求得，從而可求得，最后設AE=E=x，在Rt△中，利用勾股定理求得x的值即可；

②連接BD交于點O，通過證四邊形為平行四邊形可得OB=OD=5，，當點、與點B、D共線時，的長可取得最小值，由此可得結果．

解：（1）①“依據1”指兩直線平行，內錯角相等；

“依據2”指同位角相等，兩直線平行；

②證明：在矩形中，，

又∵，

∴，即，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，且；

（2）四邊形是矩形，

證明：延長，交于點，如下圖，

由對折可知，，

∵，

∴，

同理，，

由（1）得，，

∴，

由對折可知，，

∴，

在中，，

在矩形中，，即，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴四邊形是矩形；

（3）①如圖，延長交BC于點H，反向延長交AD于點K，

∵，AB∥CD，AD∥BC，∠A=∠C=90°，

∴四邊形ABHK和CDKH均為矩形，

∴AK=BH，KD=CH，KH=AB=6，

∵，，，

∴

∴KD=BH，

∴AK=KD=BH =AD=4，

在Rt中，

∴，

設AE=E=x，則EK=4-x，

在Rt中，，

∴，

解得，

∴AE=；

②如圖，連接BD交于點O，

由（2）得四邊形是矩形，

∴∥，

又∵，

∴四邊形為平行四邊形，

∴OB=OD，，

∵在Rt△ABD中，BD=，

∴OB=OD=5，

又∵6，

∴當點、B、O不共線時＞，

即＞6-5，＞1，

當點、B、O共線時，=，

即=6-5，=1，

∴取得最小值，最小值為1，

又∵，

∴取得最小值，最小值為2．