Question

直線y=-x-3經過點C（1，m），并與坐標軸交于A、B兩點，過B、C兩點的拋物線y=x²+bx+c與x軸的負半軸交于D點，
（1）求點C的坐標及拋物線的解析式；
（2）拋物線y=x²+bx+c的對稱軸為直線MN，直線MN與x軸相交于點F，直線MN上有一動點P，過P作直線PE⊥AB，垂足為E，直線PE與x軸相交于點H
①當P點在直線MN上移動時，是否存在這樣的P點，使以A、P、H為頂點的三角形與△FBC相似？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由；
②若⊙I始終過A、P、E三點，當P點在MN上運動時，圓心I在______上運動．（先作選擇，再說明理由） 
A．一個圓  B．一個反比例函數圖象 C．一條直線 D．一條拋物線

Answer 1

【答案】分析：（1）首先由直線AC的解析式求出點B、C兩點的坐標，再由待定系數法確定拋物線的解析式．
（2）①點A、C的坐標易知，那么容易判斷出∠ACF=45°，這也是方便解題的一個重要條件；從圖中不難看出∠AHP、∠ACF是同角（或等角）的余角，那么必有∠AHP=∠FCB=45°，首先用未知數設出PF的長，進而由∠AHP的度數求出PH、AH的長，若△AHP、△FCB相似，通過得到的比例線段列式求出這個未知數的值，由此確定點P的坐標（注意要分點P在x軸上方和下方兩種情況討論）；
②在Rt△APE中，它的外心I始終是AP的中點，若取AF的中點為Q，那么IQ為△APH的中位線，換句話說無論點P如何運動，IQ始終與PH平行，即點I始終在一條平行于y軸的直線上，可根據這個思路來解答題目．
解答：解：（1）由直線y=-x-3知：A（-3，0）、B（0，-3）；
當x=1時，y=-x-3=-4，即 C（1，-4）．
將B（0，-3）、C（1，-4）代入y=x²+bx+c中，得：
，解得
∴拋物線的解析式：y=x²-2x-3．

（2）①由點A（-3，0）、C（1，-4）得：AF=CF=4，即△AFC是等腰直角三角形，∠FCB=45°；
1、當點P在x軸下方時，∠AHP=∠FCB=90°-∠HAC=45°；
在Rt△FPH中，設FH=FP=x，則PH=x，AH=AF+FH=4+x；
由B（0，-3）、C（1，-4）知：BC=，CF=4；
若△APH∽△HBC，那么=，則有：=
解得：x=，即 P（1，-）；
2、當點P在x軸上方時，如右圖；
∠AHP=∠FCB=90°-∠EAH=90°-∠FAC=45°；
設FP=x，則 FH=FP=x，AH=FH-AF=x-4，PH=x；
同1可得：=，有：=
解得：x=8，即 P（1，8）；
綜上，點P的坐標為（1，-）或（1，8）．
②Rt△APE的外接圓圓心為斜邊AP的中點I，取AF的中點Q，那么IQ為△AFP的中位線，
∴IQ∥MN，即IQ∥y軸；
∵點Q（-1，0），∴無論點P如何運動，點I始終在直線x=-1上．
故選C．
點評：此題主要考查了函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質以及三角形的外接圓等相關知識點；（2）①較難，能夠應用含有特殊度數的∠FCB是解答題目的關鍵．