Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，∠BAC的平分線AE交C于F，EG⊥AB于G，請判斷四邊形GECF的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】四邊形GECF是菱形，理由詳見解析．

【解析】

試題根據全等三角形的判定定理HL進行證明Rt△AEG≌Rt△AEC（HL），得到GE=EC；根據平行線EG∥CD的性質、∠BAC平分線的性質以及等量代換推知∠FEC=∠CFE，易證CF=CE；從而根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形進行判斷．

試題解析：四邊形GECF是菱形，理由如下：

∵∠ACB=90°，

∴AC⊥EC．

又∵EG⊥AB，AE是∠BAC的平分線，

∴GE=CE．

在Rt△AEG與Rt△AEC中，

，

∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL），

∴GE=EC，

∵CD是AB邊上的高，

∴CD⊥AB，

又∵EG⊥AB，

∴EG∥CD，

∴∠CFE=∠GEA，

∵Rt△AEG≌Rt△AEC，

∴∠GEA=∠CEA，

∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，

∴CE=CF，

∴GE=EC=FC，

又∵EG∥CD，即GE∥FC，

∴四邊形GECF是菱形．