Question

【題目】數學學習小組“陸月輝煌”最近正在進行幾何圖形組合問題的研究．認真研讀以下四個片段，并回答問題．

（片斷一）小陸說：將一塊足夠大的等腰直角三角板置于一個正方形中，直角頂點與對角線交點O重合，在轉動三角板的過程中我發現某些線段之間存在確定的數量關系．

如圖（1），若三角板兩條直角邊的外沿分別交正方形的邊AB、BC于點M、N，則①OM＋ON=MB＋NB；②．

請你判斷他的猜想是否正確？并證明你認為正確的猜想．

（片斷二）小月說：將三角板中一個45°角的頂點和正方形的一個頂點重合放置，使得這個角的兩條邊與正方形的一組鄰邊有交點．

如圖（2），若以A為頂點的45°角的兩邊分別交正方形的邊BC、CD于點M、N，交對角線BD于點E、F．我發現：BE2＋DE2=2AE2，只要準確旋轉圖（2）中的一個三角形就能證明這個結論．

請你寫出小月所說的具體的旋轉方式：______________________．

（片斷三）小輝說：將三角板的一個45°角放置在正方形的外部，同時角的兩邊恰好經過正方形兩個相鄰的頂點．

如圖（3），設頂點為E的45°角位于正方形的邊AD上方，這個角的兩邊分別經過點B、C，連接EA，ED．那么線段EB、EC、ED也存在確定的數量關系：(EB＋ED)2=2EC2．

請你證明這個結論．

（片斷四）小煌說：在圖（2）中，作一個過點A、E、F的圓，交正方形的邊AB、AD于點G、H，如圖（4）所示．你知道線段DH、HG、GB三者之間的關系嗎？請直接寫出結論：________________．

Answer 1

【答案】【片斷一】①錯誤，②正確，證明見詳解；【片斷二】將△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ADG；【片斷三】證明見詳解；【片斷四】DH+BG=GH．

【解析】

根據四邊形ABCD是正方形，可以得出∠MOB=∠NOC，利用ASA可以證明△MOB≌△NOC，則可以判斷②正確；作交BC于E點，根據等腰直角三角形的性質和垂線段最短可以判斷①錯誤；
【片斷二】將△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ADG．利用旋轉的性質可以證明△AFG≌△AFE，則可判斷△AGE是等腰直角三角形，利用勾股定理即可證明；
【片斷三】過點C作EC的垂線交EB延長線于F，可證△FCE是等腰直角三角形，并可得△CDE≌△CBF，即可推出結論，解決問題；
【片斷四】結論：DH+GB=HG．連接FH、CF、CE、EG，延長AB到J，使得BJ=DH，易證△ADF≌△CDF，利用三角形的內角和定理可以推出C、F、H共線，

同理也可得C、E、G共線，根據A、G、E、F、H共圓和圓周角的性質得到∠FCG=45°，可以推出∠BCJ +∠GBC=∠GCJ =45°=∠HCG，利用SAS可以證明△CGH≌△CGJ，則可以得到DH+BG=GH．

解：【片斷一】：①錯誤，②正確；
理由：如圖1中，作交BC于E點

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB=OC=OD=OA，∠ABO=∠OCN=45°，
∵∠MON=∠BOC=90°，

∴∠MON-∠BON =∠BOC-∠BON
∴∠MOB=∠NOC，
∴△MOB≌△NOC（ASA），
∴BM=CN，
∴，

即②正確，

又∵，△BOC是等腰直角三角形，

則有，

∴

即，故①錯誤；

【片斷二】

：將△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ADG；

證明：如圖2所示，連接GE，GF，

∵∠MAC=45°，并且由旋轉可知∠BAE=∠DAG，AG=AE，

∴∠GAF=∠EAF=45°

又∵AF=AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴GF=EF，∠GAF=∠EAF =45°，AG=AE，

∴∠GAF+∠EAF =90°，

即△AGE是等腰直角三角形，

∴，
又∵∠ADG=∠ABE=∠ADF=45°，
∴∠FDG=90°，
∴，
即有．
故答案為：將△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ADG．

【片斷三】：如圖，過點C作EC的垂線交EB延長線于F，

∵∠ECF=∠DCB=90°，
∴∠DCE=∠BCF，

∵∠BEC=45°，即△FCE是等腰直角三角形，

∴CE=CF，
∵CD=CB，
∴△CDE≌△CBF（SAS），
∴ED=FB，
∴EB+ED=EB+FB=EF，
又因為EC2+FC2=EF2，
∴（EB+ED）2=2EC2．

【片斷四】：結論：DH+GB=HG．
證明：如圖示，連接FH、CF、CE、EG，延長AB到J，使得BJ=DH，

∵DC=DC，DF=DF，∠ADF=∠CDF=45°，

∴△ADF≌△CDF（SAS），

∴∠DAF=∠DCF，

由三角形的內角和定理可知：

∠DFC=180°-∠FDC-∠DCF =180°-45°-∠DCF=135°-∠DCF，

∠DFH=180°-∠FDH-∠DHF =180°-45°-∠DHF =135°-∠DHF，

∠DCF+∠DHF=90°，

∴∠DFH+∠DFC

=135°-∠DCF +135°-∠DHF

=270°-（∠DCF +∠DHF）

=270°-90°

=180°，
∴C、F、H共線，

同理可證C、E、G共線，

∵CD=CB,∠CDH=∠CBJ=90°，DH=BJ，

∴△CDH≌△CBJ（SAS），
∴CH=CJ，∠DCH=∠BCJ，

連接E，G，

∵A、G、E、F、H共圓，∠DAG=90°，

∴HG是圓的直徑，

∴∠HFG=∠GFC=90°，并且∠FGE=∠FAE=45°，

∴∠FCG=45°，

∴∠DCH+∠GBC=45°，

即有∠BCJ +∠GBC=∠GCJ =45°=∠HCG，

在△CGH和△CGJ中

∴△CGH≌△CGJ（SAS），
∴HG=GJ，
∴DH+BG=GH．