Question

（2001•黑龍江）如圖，直徑為13的⊙O′經過原點O，并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點，線段OA、OB（OA＞OB）的長分別是方程x²+kx+60=0的兩根．
（1）求線段OA、OB的長；
（2）已知點C在劣弧OA上，連接BC交OA于D，當OC²=CD•CB時，求C點的坐標；
（3）在（2）問的條件下，在⊙O′上是否存在點P，使S_△POD=S_△ABD？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據根與系數的關系寫出OA+OB和OA•OB的值．連接AB，根據90°的圓周角所對的弦是直徑，再結合勾股定理列方程求解．
（2）若OC²=CD•CB，則三角形OCB相似于三角形DCO，則∠COD=∠CBO．又∠COD=∠CBA，則∠CBO=∠CBA，所以點C是弧OA的中點．連接O′C，根據垂徑定理的推論，得O′E⊥OA．再進一步根據垂徑定理和勾股定理進行計算即可．
（3）首先求得直線BC的解析式，求得D的坐標，根據面積相等即可求得P的縱坐標，根據圓的直徑即可作出判斷．
解答：解：（1）連接AB，∵∠BOA=90°，
∴AB為直徑，根與系數關系得OA+OB=-k，OA•OB=60；
根據勾股定理，得OA²+OB²=169，
即（OA+OB）²-2OA•OB=169，
解得k²=289，∴k=±17（正值舍去）．
則有方程x²-17x+60=0，x=12，或5．
又OA＞OB，
∴OA=12，OB=5．

（2）若OC²=CD•CB，則△OCB∽△DCO，
∴∠COD=∠CBO，
又∵∠COD=∠CBA，
∴∠CBO=∠CBA，
所以點C是弧OA的中點．
連接O′C交OA于點E，根據垂徑定理的推論，得O′E⊥OA，
根據垂徑定理，得OE=6，
根據勾股定理，得O′E=2.5，
∴CE=4，即C（6，-4）．

（3）設直線BC的解析式是y=kx+b，
則
解得：，
則直線BC的解析式是y=-x+5，
令y=0，解得：x=，
則OD=，AD=12-=，
∴S_△ABD=×5×=．
若S_△ABD=2S_△OBD，P到x軸的距離是h，
則×h=，解得：h=13．
而⊙O′的直徑是13，因而P不能在⊙O′上，
故P不存在．
點評：綜合運用了相似三角形的判定和性質、圓周角定理的推論、勾股定理以及垂徑定理及其推論．