Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，將拋物線C1：y=x2+3先向右平移1個單位，再向下平移7個單位得到拋物線C2 ． C2的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側）．

（1）求拋物線C2的解析式；
（2）若拋物線C2的對稱軸與x軸交于點C，與拋物線C2交于點D，與拋物線C1交于點E，連結AD、DB、BE、EA，請證明四邊形ADBE是菱形，并計算它的面積；
（3）若點F為對稱軸DE上任意一點，在拋物線C2上是否存在這樣的點G，使以O、B、F、G四點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請求出點G的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵將拋物線C1：y=x2+3先向右平移1個單位，再向下平移7個單位得到拋物線C2，

∴拋物線C1的頂點（0，3）向右平移1個單位，再向下平移7個單位得到（1，﹣4）．

∴拋物線C2的頂點坐標為（1，﹣4）．

∴拋物線C2的解析式為y=（x﹣1）2﹣4，

即y=x2﹣2x﹣3；

（2）

解：證明：由x2﹣2x﹣3=0，

解得：x1=﹣1，x2=3，

∵點A在點B的左側，

∴A（﹣1，0），B（3，0），AB=4．

∵拋物線C2的對稱軸為x=1，頂點坐標D為（1，﹣4），

∴CD=4．AC=CB=2．

將x=1代入y=x2+3得y=4，

∴E（1，4），CE=CD．

∴四邊形ADBE是平行四邊形．

∵ED⊥AB，

∴四邊形ADBE是菱形．

S菱形ADBE=2× ×AB×CE=2× ×4×4=16．

（3）

解：存在．分OB為平行四邊形的邊和對角線兩種情況：

①當OB為平行四邊形的一邊時，如圖1，

設F（1，y），

∵OB=3，∴G1（﹣2，y）或G2（4，y）．

∵點G在y=x2﹣2x﹣3上，

∴將x=﹣2代入，得y=5；將x=4代入，得y=5．

∴G1（﹣2，5），G2（4，5）．

②當OB為平行四邊形的一對角線時，如圖2，

設F（1，y），OB的中點M，過點G作GH⊥OB于點H，

∵OB=3，OC=1，∴OM= ，CM= ．

∵△CFM≌△HGM（AAS），∴HM=CM= ．∴OH=2．

∴G3（2，﹣y）．

∵點G在y=x2﹣2x﹣3上，

∴將（2，﹣y）代入，得﹣y=﹣3，即y=3．

∴G3（2，﹣3）．

綜上所述，在拋物線C2上是否存在這樣的點G，使以O、B、F、G四點為頂點的四邊形是平行四邊形，點G的坐標為G1（﹣2，5），G2（4，5），G3（2，﹣3）．

【解析】（1）根據二次函數平移的規律：“左加右減，上加下減”，得出平移后解析式即可；（2）首先求出A，B兩點的坐標，再利用頂點坐標得出AC=CB，CE=CD，進而得出四邊形ADBE是平行四邊形以及四邊形ADBE是菱形，再利用三角形面積公式求出即可；（3）利用分OB為平行四邊形的邊和對角線兩種情況：①當OB為平行四邊形的一邊時，②當OB為平行四邊形的一對角線時分別得出即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．