Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，E、F在菱形的邊BC，CD上．
（1）證明：BE=CF．
（2）當點E，F分別在邊BC，CD上移動時（△AEF保持為正三角形），請探究四邊形AECF的面積是否發生變化？若不變，求出這個定值；如果變化，求出其最大值．
（3）在（2）的情況下，請探究△CEF的面積是否發生變化？若不變，求出這個定值；如果變化，求出其最大值．

Answer 1

分析：（1）先求證AB=AC，進而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4=60°，AC=AB進而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）根據△ABE≌△ACF可得S_△ABE=S_△ACF，故根據S_{四邊形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC即可解題．
（3）當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，又根據S_△CEF=S_{四邊形AECF}-S_△AEF，則△CEF的面積就會最大．

解答：（1）證明：連接AC，
∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∴△ABC、△ACD為等邊三角形
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，

∠1=∠3 AB=AC ∠ABC=∠4

，
∴△ABE≌△ACF．（ASA）
∴BE=CF．

（2）解：由（1）得△ABE≌△ACF，
則S_△ABE=S_△ACF．
故S_{四邊形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC，
是定值．
作AH⊥BC于H點，
則BH=2，
S_{四邊形AECF}=S_△ABC
=

1

2

BC•AH
=

1

2

BC•

AB2-BH2

=4

3

；

（3）解：由“垂線段最短”可知，
當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．
故△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，
正三角形AEF的面積會最小，
又S_△CEF=S_{四邊形AECF}-S_△AEF，則△CEF的面積就會最大．
由（2）得，S_△CEF=S_{四邊形AECF}-S_△AEF
=4

3

-

1

2

×2

3

×

(2 3 )2-( 3 )2

=

3

．

點評：本題考查了菱形對角線互相垂直平分的性質，考查了全等三角形的證明和全等三角形對應邊相等的性質，考查了三角形面積的計算，本題中求證△ABE≌△ACF是解題的關鍵．