Question

【題目】已知線段AB=m(m為常數)，點C為直線AB上一點（不與點A、B重合），點M、N分別在線段BC、AC上，且滿足CN=3AN，CM=3BM.

(1)如圖，當點C恰好在線段AB中點，且m=8時，則MN=______；

(2) 若點C在點A左側，同時點M在線段AB上(不與端點重合)，請判斷CN+2AM -2MN的值是否與m有關？并說明理由.

(3) 若點C是直線AB上一點（不與點A、B重合），同時點M在線段AB上(不與端點重合)，求MN長度 (用含m的代數式表示).

Answer 1

【答案】(1)6；(2) 無關，理由見解析；(3)m.

【解析】

（1）根據中點可得到AC、BC的長，再根據CN=3AN，CM=3BM，可計算出CN、CM，最后根據線段的和差關系進行計算即可；

（2）根據線段之間的關系及CN=3AN，CM=3BM，分別表示出CN、AM及MN，再進行化簡即可；

（3）分情況討論，畫出圖形，根據線段之間的關系計算即可.

解：（1）∵點C恰好在線段AB中點，且AB=m=8，

∴AC=BC=AB=4，

∵CN=3AN，CM=3BM，

∴CN=AC，CM=BC，

∴CN=3，CM=3，

∴MN=CN+CM=3+3=6;

（2）若C在A的左邊，如圖所示，

∵CN=3AN，CM=3BM，

∴MN=CM－CN=3BM－3AN，

∴AM=MN－AN=3BM－3AN－AN=3BM－4AN，

∴CN +2AM－2MN=3AN+2(3BM－4AN)－2(3BM－3AN)=AN，

∴CN +2AM－2MN的值與m無關；

（3）①當點C在線段AB上時，如圖所示，

∵CN=3AN，CM=3BM，

∴CN=AC，CM=BC，

∴MN=CM+CN=BC+AC=(BC+AC)=AB=m；

②當點C在點A的左邊，如圖所示，

∵CN=3AN，CM=3BM，

∴CN=AC，BM=BC，

∴MN=BC－CN－BM=BC－AC－BC =(BC－AC)=AB=m；

③當點C在點B的右邊，如圖所示：

∵CN=3AN，CM=3BM，

∴AN=AC，CM=BC，

∴MN=AC－AN－CM=AC－AC－BC =(AC－BC)=AB=m，

綜上所述，MN的長度為m.