Question

如圖，已知：四邊形AEBD中，對(duì)角線AB和DE相交于點(diǎn)C，且AB垂直平分DE，AC=a，BC=b，CD=

ab

（其中a≥b＞0）．
（1）用尺規(guī)作圖法作出以AB為直徑的⊙O；（保留作圖痕跡）
（2）求證：△ACD∽△DCB；
（3）判斷點(diǎn)D與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（4）試估計(jì)代數(shù)式a+b和2

ab

的大小關(guān)系，并結(jié)合圓的有關(guān)知識(shí)，利用圖形中線段的數(shù)量關(guān)系說(shuō)明你的結(jié)論的正確性．

Answer 1

分析：（1）作AB的垂直平分線，那么此中垂線與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)O，然后以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓即可．
（2）顯然點(diǎn)D在圓上；首先根據(jù)AC、BC、CD的長(zhǎng)，可得AC•BC=CD²，進(jìn)而證明△DCA∽△BCD，
（3）求D是否在圓上，連接OD，如果證明了OD=OA=OB那么D就在圓上了，那么只要證明∠ADB是個(gè)直角就可以了，可通過證明△DCA∽△BCD，根據(jù)題目給出的條件，不難得出CD²=AC•CB，那么證明△DCA∽△BCD就容易多了；
（4）圓內(nèi)長(zhǎng)的弦是直徑，那么AB≥DE，AB=a+b，DE=2DC=2

ab

，因此可得出：a+b≥2

ab

．

解答：解：（1）已知：線段AB，
求作：⊙O，且以AB為直徑；
作法：①分別以A、B為圓心，大于

1

2

AB為半徑作弧，交于M、N兩點(diǎn)；
②連接MN，交AB于點(diǎn)O；
③以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓．
結(jié)論：⊙O即為所求作的圓．

（2）證明：∵AC•BC=CD²，即

AC

CD

=

CD

BD

；
又∵∠DCA=∠DCB=90°，
∴△DCA∽△BCD，

（3）點(diǎn)D在⊙O上；
理由：由題意知：AC•BC=CD²，即

AC

CD

=

CD

BD

；
又∵∠DCA=∠DCB=90°，
∴△DCA∽△BCD，
∴∠DAC=∠BDC，又∵∠DAC+∠ADC=90°，
∴∠BDC+∠ADC=90°，即∠ADB=90°；
由圓周角定理知：點(diǎn)D在⊙O上．

（4）結(jié)論：a+b≥2

ab

；
由（2）知，點(diǎn)D、E都在⊙O上，∵AB是⊙O的直徑，AB⊥DE，
∴DE=2DC=2

ab

，
∵AB≥DE，
∴a+b≥2

ab

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了線段垂直平分線的作法以及圓周角定理的應(yīng)用，還涉及到相似三角形的判定和性質(zhì)，要證明某點(diǎn)是否在圓上，只要連接這點(diǎn)和圓心再證明其長(zhǎng)度等于半徑即可．