Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．BE平分∠ABC交AC于點E，點D在AB上，DE⊥BE于點E．
（1）判斷直線AC與△DBE外接圓的位置關系，并證明你的結論；
（2）若AD＝6，AE＝6，求BC的長．

Answer 1

解：（1）∵DE⊥BE于E，∴BD為△DBE外接圓的直徑，設圓心為O，

連結OE，得OE＝OB，
∴∠OBE ＝∠OEB，∵BE平分∠ABC
∴∠CBE ＝∠OBE，∴∠OEB＝∠CBE，
∴BC∥OE，已知∠C＝90°，∴∠OEC＝90°，
即直線AC是△DBE外接圓的切線．……………5分
（2）設OE＝OD＝x，在直角三角形AEO中，
AO ²＝AE ²＋EO ²，即 (6＋ x) ²＝(6) ²＋ x ²，
解得x＝3，由△ABC～△AOE，得＝，即＝，BC＝4．……………10分

略