Question

已知：如圖，Rt△ABC中，AC=4，BC=3，DE∥AB．
（1）當(dāng)△CDE的面積與四邊形DABE的面積相等時(shí)，求CD的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)與四邊形DABE的周長(zhǎng)相等時(shí)，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由DE∥AB，可得△DCE∽△ACB，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案；
（2）由△CDE的周長(zhǎng)與四邊形DABE的周長(zhǎng)相等，可得CD+CE=

1

2

△ABC的周長(zhǎng)，由勾股定理，可求得AB的長(zhǎng)，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案．

解答：解：（1）∵DE∥AB，
∴△DCE∽△ACB，
∴

S△DCE

S△ACB

=（

CD

AC

）²，
∵△CDE的面積與四邊形DABE的面積相等，
∴（

CD

AC

）²=

1

2

，
∵AC=4，
∴CD=2

2

；

（2）∵△CDE的周長(zhǎng)與四邊形DABE的周長(zhǎng)相等，
∴CD+DE+CE=AD+AB+BE+DE，
∴CD+CE=AD+AB+BE，
∴CD+CE=

1

2

△ABC的周長(zhǎng)，
∵Rt△ABC中，AC=4，BC=3，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∴CD+CE=6，
∵△DCE∽△ACB，
∴

CD

AC

=

CE

BC

，
即

CD

4

=

6-CD

3

，
解得：CD=

24

7

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．