Question

【題目】如圖1，點P為四邊形ABCD所在平面上的點，如果∠PAD=∠PBC，則稱點P為四邊形ABCD關于A、B的等角點，以點C為坐標原點，BC所在直線為軸建立平面直角坐標系，點B的橫坐標為﹣6．

（1）如圖2，若A、D兩點的坐標分別為A（﹣6，4）、D（0，4），點P在DC邊上，且點P為四邊形ABCD關于A、B的等角點，則點P的坐標為　_________　；

（2）如圖3，若A、D兩點的坐標分別為A（﹣2，4）、D（0，4）．

①若P在DC邊上時，則四邊形ABCD關于A、B的等角點P的坐標為　_________　；

②在①的條件下，將PB沿軸向右平移個單位長度（0＜＜6）得到線段P′B′，連接P′D，B′D，試用含的式子表示P′D2+B′D2，并求出使P′D2+B′D2取得最小值時點P′的坐標；

③如圖4，若點P為四邊形ABCD關于A、B的等角點，且點P坐標為（1， ），求的值；

④以四邊形ABCD的一邊為邊畫四邊形，所畫的四邊形與四邊形ABCD有公共部分，若在所畫的四邊形內存在一點P，使點P分別是各相鄰兩頂點的等角點，且四對等角都相等，請直接寫出所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（0，2）；（2）①（0，3）；②2m2-12m+53，（3，3）；③2.8；④（-1，3），（-2，2），（-3，3），（-2，0）

【解析】試題分析：（1）連結AP，BP，由全等三角形的性質就可以得出PD=PC而得出結論；

（2）①由△ADP∽△BCP就可以得出而求出結論；

②求出代表P′D2+B′D2的方程式，并求最小值．

③畫圖求證△PAM∽△PBN，值得注意的是本題有兩個圖形，容易漏掉一個答案．

④由題意可知，必須是正方形才能滿足題干要求．

試題解析：解：（1）由B點坐標（﹣6，0），A點坐標（﹣6，4）、D點坐標（0，4），可以得出四邊形ABCD為矩形，

∵P在CD邊上，且∠PAD=∠PBC，∠ADP=∠BCP，BC=AD；

∴△ADP≌△BCP，∴CP=DP，

∴P點坐標為（0，2）；

（2）①∵∠DAP=∠CBP，∠BCP=∠ADP=90°，

∴△ADP∽△BCP，

∴==，

∴CP=3DP，∴CP=3，DP=1，

∴P點坐標為（0，3）；

②如圖3，由題意，易得 B′（m﹣6，0），P′（m，3）

由勾股定理得P′D2+B′D2=PP′2+PD2+OD2+B′C2=m2+（4﹣3）2+42+（m﹣6）2=2m2﹣12m+53，

∵2＞0

∴P′D2+B′D2有最小值，

當m=﹣=3時，（在0＜m＜6范圍內）時，P′D2+B′D2有最小值，此時P′坐標為（3，3）；

③由題意知，點P在直線x=1上，延長AD交直線x=1于M，

（a）如圖，當點P在線段MN上時，易證△PAM∽△PBN，

∴，

即，

解得t=2．8

(b）如圖，當點P為BA的延長線與直線x=1的交點時，易證△PAM∽△PBN，

∴，即，解得t=7，

綜上可得，t=2．8或t=7；

④因滿足題設條件的四邊形是正方形，

故所求P的坐標為（﹣1，3），（﹣2，2），（﹣3，3），（﹣2，0）．