Question

已知：如圖，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于點F，連接BF并延長交AC于點E，∠BAD＝∠FCD。

求證：（1）△ABD≌△CFD;
（2）BE⊥AC.

Answer 1

(1)證明見解析;(2) 證明見解析.

試題分析：（1）由垂直的性質推出∠ADC=∠FDB=90°，再由∠ACB=45°，推出∠ACB=∠DAC=45°，即可求得AD=CD，根據全等三角形的判定定理“ASA”，即可推出結論;（2）由（1）的結論推出BD=DF，根據AD⊥BC，即可推出∠DBF=∠DFB=45°，再由∠ACB=45°，通過三角形內角和定理即可推出∠BEC=90°，即BE⊥AC．
試題解析：（1）∵AD⊥BC,
∴∠ADC=∠ADB=90°,
又∵∠ACB=45°,
∴∠DAC=45°,
∴∠ACB=∠DAC,
∴AD=CD,
在△ABD和△CFD中,∠BAD=∠FCD, AD=CD∠ADB=∠FDC,
∴△ABD≌△CFD;
(2)∵△ABD≌△CFD,
∴BD=FD,      
∴∠1=∠2,
又∵∠FDB=90°,
∴∠1=∠2=45°,
又∵∠ACD=45°,
∴△BEC中，∠BEC=90°,
∴BE⊥AC.