Question

如圖，在中，，，，AF=10cm， AC=14cm，動點E以2cm/s的速度從點向點運動，動點以1cm/s的速度從點向點運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，設運動時間為t．

（1）求證：在運動過程中，不管t取何值，都有；
（2）當t取何值時，與全等；
（3）在（2）的前提下，若，,求。

Answer 1

(1)證明見解析；（2）；（3）.

試題分析：（1）由角平分線的性質可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面積轉化為底AE和CG的比值，根據路程=速度×時間求出AE和CG的長度即可證明在運動過程中，不管取何值，都有S_△AED=2S_△DGC．
(2)若△DFE與△DMG全等，則EF=MG，利用已知條件求出EF和MG的長度，建立方程解方程即可求出運動的時間．
（3）利用等高三角形的面積比等于對應底的比，即可求得答案．
試題解析：（1）證明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM，
∵S_△AED=AE•DF，S_△DGC=CG•DM，
∴，
∵點E以2cm/s的速度從A點向F點運動，動點G以1cm/s的速度從C點向A點運動，
∴AE=2tcm，CG=tcm，
∴，即，
∴在運動過程中，不管取何值，都有S_△AED=2S_△DGC．
（2）解：設時間為t時，△DFE與△DMG全等，則EF=MG
①當M在線段CG的延長線上時，
∵點E以2cm/s的速度從A點向F點運動，動點G以1cm/s的速度從C點向A點運動，
∴EF=AF-AE=10-2t，MG=AC-CG-AM=4-t，
即10-2t=4-t，
解得：t=6，
當t=6時，MG=-2，所以舍去；
②當M在線段CG上時，
∵點E以2cm/s的速度從A點向F點運動，動點G以1cm/s的速度從C點向A點運動，
∴EF=AF-AE=10-2t（cm），MG=AM-（AC-CG）=t-4（cm），
即10-2t=t-4，
解得：t=，
綜上所述當t=時，△DFE與△DMG全等．
（3）∵t=，
∴AE=2t=（cm），
∵DF=DM，
∴S_△ABD：S_△ACD=AB：AC=BD：CD=119：126，
∵AC=14cm，
∴AB=（cm），
∴BF=AB-AF=-10=（cm），
∵S_△ADE：S_△BDF=AE：BF=：，S_△AED=28cm²，
∴S_△BDF=（cm²）．
考點: 1.全等三角形的判定與性質；2.三角形的面積；3.角平分線的性質．