Question

【題目】如圖1，在△ABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉，若B、P在直線a的異側，BM直線a于點M，CN直線a于點N，連接PM、PN；

(1) 延長MP交CN于點E(如圖2)。求證：△BPM≌△CPE；求證：PM=PN；

(2) 若直線a繞點A旋轉到圖3的位置時，點B、P在直線a的同側，其它條件不變。此時

PM=PN還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

(3) 若直線a繞點A旋轉到與BC邊平行的位置時，其它條件不變。請直接判斷四邊形MBCN

的形狀及此時PM=PN還成立嗎？不必說明理由。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立；（3）成立

【解析】

試題分析：（1）①根據平行線的性質證得∠MBP=∠ECP再根據BP=CP，∠BPM=∠CPE即可得到；

②由△BPM≌△CPE，得到PM=PE則PM=ME，而在Rt△MNE中，PN=ME，即可得到PM=PN．

（2）證明方法與②相同．

（3）四邊形MBCN是矩形，則PM=PN成立．

（1）①如圖2：

∵BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，

∴∠BMA=∠CNM=90°，

∴BM∥CN，

∴∠MBP=∠ECP，

又∵P為BC邊中點，

∴BP=CP，

又∵∠BPM=∠CPE，

∴△BPM≌△CPE，

②∵△BPM≌△CPE，

∴PM=PE

∴PM=ME，

∴在Rt△MNE中，PN=ME，

∴PM=PN．

（2）成立，如圖3，延長MP與NC的延長線相交于點E，

∵BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，

∴∠BMN=∠CNM=90°

∴∠BMN+∠CNM=180°，

∴BM∥CN

∴∠MBP=∠ECP，

又∵P為BC中點，

∴BP=CP，

又∵∠BPM=∠CPE，

∴△BPM≌△CPE，

∴PM=PE，

∴PM=ME，

則Rt△MNE中，PN=ME，

∴PM=PN．

（3）如圖4：

四邊形M′BCN′是矩形，

根據矩形的性質和P為BC邊中點，得到△M′BP≌△N′CP，

得PM′=PN′成立．即“四邊形MBCN是矩形，則PM=PN成立”．