Question

類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，在數學學習和研究中經常用到，如下是一個案例，請補充完整，原題：如圖1，在平行四邊形ABCD中，點E是BC的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G.若＝3，求的值．

(1)嘗試探究：
在圖1中，過點E作EH∥AB交BG于點H，則AB和EH的數量關系是________，
CG和EH的數量關系是________，
的值是________．
(2)類比延伸：
如圖2，在原題條件下，若＝m(m＞0)則的值是________(用含有m的代數式表示)，試寫出解答過程．
(3)拓展遷移：
如圖3，梯形ABCD中，DC∥AB，點E是BC的延長線上的一點，AE和BD相交于點F，若＝a，＝b(a＞0，b＞0)則的值是________(用含a、b的代數式表示)．

Answer 1

(1)AB＝3EH　CG＝2EH　　(2)　(3)ab＋1

(1)依題意，過點E作EH∥AB交BG于點H，如圖1′所示，則有△ABF∽△EHF

圖1′
∴＝＝3，
∴AB＝3EH
∵?ABCD，EH∥AB
∴EH∥CD
又∵E為BC的中點，
∴EH為△BCG的中位線，
∴CG＝2EH，∴＝＝＝
(2)如圖2′所示，作EH∥AB交BG于點H，

圖2′
則△EFH∽△AFB
∴＝＝m，
∴AB＝mEH
∵?ABCD
∴AB＝CD＝mEH
∵EH∥AB∥CD
∴△BEH∽△BCG
∴＝＝2，∴CG＝2EH，∴＝＝
(3)如圖3′所示，過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H，則有EH∥AB∥CD

圖3′
∵EH∥CD
∴△BCD∽△BEH
∴＝＝b，
∴CD＝bEH
又＝a，
∴AB＝aCD＝abEH
∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF
∴＝＝＝ab
∴＝＝＝ab＋1