Question

【題目】如圖示AB為⊙O的一條弦，點C為劣弧AB的中點，E為優弧AB上一點，點F在AE的延長線上，且BE=EF，線段CE交弦AB于點D．
①求證：CE∥BF；
②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1： ，求△BCD的面積（注：根據圓的對稱性可知OC⊥AB）．

Answer 1

【答案】①證明：連接AC，BE，作直線OC，如圖所示：
∵BE=EF，
∴∠F=∠EBF；
∵∠AEB=∠EBF+∠F，
∴∠F= ∠AEB，
∵C是 的中點，∴ ，
∴∠AEC=∠BEC，
∵∠AEB=∠AEC+∠BEC，
∴∠AEC= ∠AEB，
∴∠AEC=∠F，
∴CE∥BF；
②解：∵∠DAE=∠DCB，∠AED=∠CEB，
∴△ADE∽△CBE，
∴ ，即 ，
∵∠CBD=∠CEB，∠BCD=∠ECB，
∴△CBE∽△CDB，
∴ ，即 ，
∴CB=2 ，
∴AD=6，
∴AB=8，
∵點C為劣弧AB的中點，
∴OC⊥AB，AG=BG= AB=4，
∴CG= =2，
∴△BCD的面積= BDCG= ×2×2=2．
【解析】①連接AC，BE，由等腰三角形的性質和三角形的外角性質得出∠F= ∠AEB，由圓周角定理得出∠AEC=∠BEC，證出∠AEC=∠F，即可得出結論；②證明△ADE∽△CBE，得出 ，證明△CBE∽△CDB，得出 ，求出CB=2 ，得出AD=6，AB=8，由垂徑定理得出OC⊥AB，AG=BG= AB=4，由勾股定理求出CG= =2，即可得出△BCD的面積．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解垂徑定理的相關知識，掌握垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．