Question

【題目】已知：正方形中，，繞點順時針旋轉，它的兩邊分別交，（或它們的延長線）于點，。當繞點旋轉到時（如圖1），易證．（不必證明）

（1）當繞點旋轉到時（如圖2），線段，和之間有怎樣的數量關系？寫出猜想，并加以證明。

（2）當繞點旋轉到如圖3的位置時，線段，和之間又有怎樣的數量關系？寫出猜想，并加以證明。

Answer 1

【答案】（1）BM+DN=MN；（2）BM+DN=MN；（3）DN﹣BM=MN．

【解析】

（1）連接AC，交MN于點G，則可知AC垂直平分MN，結合∠MAN=45°，可證明△ABM≌△AGM，可得到BM=MG，同理可得到NG=DN，可得出結論；

（2）在MB的延長線上，截取BE=DN，連接AE，則可證明△ABE≌△ADN，可得到AE=AN，進一步可證明△AEM≌△ANM，可得結論BM+DN=MN；

（3）在DC上截取DF=BM，連接AF，可先證明△ABM≌△ADF，進一步可證明△MAN≌△FAN，可得到MN=NF，從而可得到DN﹣BM=MN

（1）如圖1，連接AC，交MN于點G．

∵四邊形ABCD為正方形，∴BC=CD，且BM=DN，∴CM=CN，且AC平分∠BCD，∴AC⊥MN，且MG=GN，∴∠MAG=∠NAG．

∵∠BAC=∠MAN=45°，即∠BAM+∠GAM=∠GAM+∠GAN，∴∠BAM=∠GAN=∠GAM．在△ABM和△AGM中，∵，∴△ABM≌△AGM（AAS），∴BM=MG，同理可得GN=DN，∴BM+DN=MG+GN=MN，∴BM+DN=MN；

（2）猜想：BM+DN=MN．證明如下：

如圖2，在MB的延長線上，截取BE=DN，連接AE．在△ABE和△ADN中，∵，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE=AN，∠EAB=∠NAD．

∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠EAB+∠BAM=45°，∴∠EAM=∠NAM．

在△AEM和△ANM中，∵，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，又ME=BE+BM=BM+DN，∴BM+DN=MN；

（3）DN﹣BM=MN．證明如下：

如圖3，在DC上截取DF=BM，連接AF，△ABM和△ADF中，∵，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，∴∠BAM+∠BAF=∠BAF+∠DAF=90°，即MAF=∠BAD=90°．

∵∠MAN=45°，∴∠MAN=∠FAN=45°．

在△MAN和△FAN中，∵，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN=NF，∴MN=DN﹣DF=DN﹣BM，∴DN﹣BM=MN．