Question

【題目】如圖，已知一條直線過點，且與拋物線交于，兩點，其中點的橫坐標是．

求這條直線的函數關系式及點的坐標．

在軸上是否存在點，使得是直角三角形？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．

過線段上一點，作軸，交拋物線于點，點在第一象限，點，當點的橫坐標為何值時，的長度最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】(1) 直線，B(8,16);(2)存在，或，理由見解析；（3）當的橫坐標為時，的長度的最大值是

【解析】

（1）首先求得點A的坐標，然后利用待定系數法確定直線的解析式，從而求得直線與拋物線的交點坐標；

（2）如圖1，過點B作BG∥x軸，過點A作AG∥y軸，交點為G，然后分若∠BAC=90°，則AB2+AC2=BC2；若∠ACB=90°，則AB2=AC2+BC2；若∠ABC=90°，則AB2+BC2=AC2三種情況求得m的值，從而確定點C的坐標；

（3）設M（a，a2），如圖2，設MP與y軸交于點Q，首先在Rt△MQN中，由勾股定理得MN=a2+1，然后根據點P與點M縱坐標相同得到x=，從而得到MN+3PM=-a2+3a+9，確定二次函數的最值即可．

解：∵點是直線與拋物線的交點，且橫坐標為，

∴，點的坐標為，

設直線的函數關系式為，

將，代入得，

解得，

∴直線，

∵直線與拋物線相交，

∴，

解得：或，

當時，，

∴點的坐標為；

如圖，過點作軸，過點作軸，交點為，

∴，

∵由，可求得．

設點，同理可得，

，

①若，則，即，

解得：；

②若，則，即，

解得：或；

③若，則，即，

解得：；

∴點的坐標為，，，設，如圖，設與軸交于點，

在中，由勾股定理得，

又∵點與點縱坐標相同，

∴，

∴，

∴點的縱坐標為，

∴，

∴，

∴當，

又∵，

∴取到最小值，

∴當的橫坐標為時，的長度的最大值是．