Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，AE＝CD，AD、BE相交于點P，BQ⊥DA于Q，∠BPQ的度數是_____；若PQ＝3，EP＝1，則DA的長是_____．

Answer 1

【答案】60°， 7．

【解析】

根據等邊三角形的性質，通過全等三角形的判定定理SAS證出△AEB≌△CDA，利用全等三角形的對應角相等和三角形外角的性質求得∠BPQ＝60°，然后可得∠PBQ＝30°，由“30度角所對的直角邊是斜邊的一半”得到2PQ＝BP＝6，則易求BE＝BP＋PE＝7．

解：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，

∴在△AEB與△CDA中，，

∴△AEB≌△CDA（SAS）；

∴∠ABE＝∠CAD，AD＝BE，

∴∠BAD+∠ABP＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°，

∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABP＝60°，

∵BQ⊥AD，

∴∠PBQ＝30°，

∴PQ＝BP＝3，

∴BP＝6，

∵EP＝1，

∴BE＝BP+PE＝7，

∴DA＝BE＝7．

故答案為：60°，7．