Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線．

當拋物線的頂點在軸上時，求該拋物線的解析式；

不論取何值時，拋物線的頂點始終在一條直線上，求該直線的解析式；

若有兩點，且該拋物線與線段始終有交點，請直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）拋物線的頂點在直線上；（3）．

【解析】

（1）利用配方法求出拋物線的頂點坐標是（m，﹣m+1），根據頂點在x軸上，得出﹣m+1=0，求出m=1，即可得出拋物線的解析式；

（2）由于拋物線的頂點坐標是（m，﹣m+1），即可得出頂點在直線y=﹣x+1上；

（3）把點A（﹣1，0）代入y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1，求出m的值，再把B（1，0）代入y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1，求出m的值，即可求解．

（1）∵y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1=﹣（x﹣m）2﹣m+1，∴頂點坐標是（m，﹣m+1）．

∵拋物線的頂點在x軸上，∴﹣m+1=0，∴m=1，∴y=﹣x2+2x﹣1；

（2）∵拋物線y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1的頂點坐標是（m，﹣m+1），∴拋物線的頂點在直線y=﹣x+1上；

（3）當拋物線y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1過點A（﹣1，0）時，﹣1﹣2m﹣m2﹣m+1=0，解得m1=0，m2=﹣3，當拋物線y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1過點B（1，0）時，﹣1+2m﹣m2﹣m+1=0，解得m1=0，m2=1，故﹣3≤m≤1．