Question

【題目】如圖，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于點O，AO＝4，BO＝6．

（1）求BC，AC的長；

（2）若點D是射線OB上的一個動點，作DE⊥AC于點E，連結OE．

①當點D在線段OB上時，若△AOE是以AO為腰的等腰三角形，請求出所有符合條件的OD的長．

②設DE交直線BC于點F，連結OF，CD，若S△OBF：S△OCF＝1：4，則CD的長為　 　（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）或8．

【解析】

根據BA＝BC，分別用勾股定理求出CO和AC的長.

①分情況AO＝OE和AO＝AE，畫出圖形，根據三角形中位線定理和證明三角形全等解決問題.

②分情況

i）當D在線段OB上時，如圖3，過B作BG⊥EF于G，根據同高三角形面積比等于底邊之比，得到，再根據平行線性質∠BDG＝∠BFG，得到BD＝BF＝，最后使用勾股定理求出結論

ii）當D在線段OB的延長線上時，如圖4，過B作BG⊥DE于G，同理計算可得結論.

解：（1）∵AO＝4，BO＝6，

∴AB＝10，

∵BA＝BC，

∴BC＝10，

∵CO⊥AB，

∴∠AOC＝∠BOC＝90°，

由勾股定理得：CO＝＝＝8，

AC＝＝＝4；

（2）①分兩種情況：

i）如圖1，當AO＝OE＝4時，過O作ON⊥AC于N，

∴AN＝EN，

∵DE⊥AC，

∴ON∥DE，

∴AO＝OD＝4；

ii）當AO＝AE＝4時，如圖2，

在△CAO和△DAE中，

，

∴△CAO≌△DAE（AAS），

∴AD＝AC＝4，

∴OD＝4﹣4；

②分兩種情況：

i）當D在線段OB上時，如圖3，過B作BG⊥EF于G，

∵S△OBF：S△OCF＝1：4，

∴

∴

∵CB＝10

∴BF＝

∵EF⊥AC，

∴BG∥AC，

∴∠GBF＝∠ACB，

∵AE∥BG，

∴∠A＝∠DBG，

∵AB＝BC，

∴∠A＝∠ACB，

∴∠DBG＝∠GBF，

∵∠DGB＝∠FGB，

∴∠BDG＝∠BFG，

∴BD＝BF＝，

∴OD＝OB﹣BD＝6﹣＝，

∴CD＝＝＝；

ii）當D在線段OB的延長線上時，如圖4，過B作BG⊥DE于G，

同理得，

∵BC＝10，

∴BF＝2，

同理得：∠BFG＝∠BDF，

∴BD＝BF＝2，

Rt△COD中，CD＝＝＝8，

綜上，CD的長為或8．

故答案為：或8．