Question

【題目】（1）閱讀理解：

我們知道，只用直尺和圓規不能解決的三個經典的希臘問題之一是三等分任意角，但是這個任務可以借助如圖1所示的一邊上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角頂點為P，

“寬臂”的寬度＝PQ＝QR＝RS，（這個條件很重要哦！）勾尺的一邊MN滿足M，N，Q三點共線（所以PQ⊥MN）．

下面以三等分∠ABC為例說明利用勾尺三等分銳角的過程：

第一步：畫直線DE使DE∥BC，且這兩條平行線的距離等于PQ；

第二步：移動勾尺到合適位置，使其頂點P落在DE上，使勾尺的MN邊經過點B，同時讓點R落在∠ABC的BA邊上；

第三步：標記此時點Q和點P所在位置，作射線BQ和射線BP．

請完成第三步操作，圖中∠ABC的三等分線是射線　 　、　 　．

（2）在（1）的條件下補全三等分∠ABC的主要證明過程：

∵　 　，BQ⊥PR，

∴BP＝BR．（線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等）

∴∠　 　＝∠　 　．

∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT＝PQ，

∴∠　 　＝∠　 　．

（角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上）

∴∠　 　＝∠　 　＝∠　 　．

（3）在（1）的條件下探究：是否成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，請在圖2中∠ABC的外部畫出（無需寫畫法，保留畫圖痕跡即可）．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析， BP、BQ；（2）PQ＝QR，ABQ，PBQ，PBQ，PBC，ABQ，PBQ，PBC；（3）不成立，圖見解析.

【解析】

（1）根據題意和作法即可補全圖形，進而對∠ABC的三等分線進行判斷；

（2）根據線段垂直平分線的性質、等腰三角形三線合一的性質、角平分線的判定依次進行判斷填寫即可；

（3）連接BS，如圖2，不成立，如圖3，作點Q關于直線AB的對稱點V，作射線BV，即為所求.

解：（1）如圖1，∠ABC的三等分線是射線BP、射線BQ；故答案為：BP，BQ；

（2）如圖1，作PT⊥BC于點T，∵PQ＝QR，BQ⊥PR，

∴BP＝BR．（線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等）

∴∠ABQ＝∠PBQ．

∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT＝PQ，

∴∠PBQ＝∠PBC．（角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上）

∴∠ABQ＝∠PBQ＝∠PBC．

故答案為： PQ＝QR，ABQ，PBQ，PBQ，PBC，ABQ，PBQ，PBC；

（3）在（1）的條件下，連接BS，如圖2，∠ABS≠∠ABQ，所以∠ABS＝∠ABC不成立；

如圖3，作點Q關于直線AB的對稱點V，作射線BV，則∠ABV滿足∠ABV＝∠ABQ＝∠ABC，且在∠ABC外部，符合題意．