Question

【題目】綜合與實踐

問題情境

在綜合實踐課上，老師讓同學們“以三角形的旋轉”為主題進行數學活動，如圖（1），在三角形紙片ABC中，AB=AC，∠B=∠C=α．

操作發現

（1）創新小組將圖（1）中的△ABC以點B為旋轉中心，逆時針旋轉角度α，得到△DBE，再將△ABC以點A為旋轉中心，順時針旋轉角度α，得到△AFG，連接DF，得到圖（2），則四邊形AFDE的形狀是　 　．

（2）實踐小組將圖（1）中的△ABC以點B為旋轉中心，逆時針逆轉90°，得到△DBE，再將△ABC以點A為旋轉中心，順時針旋轉90°，得到△AFG，連接DF、DG、AE，得到圖（3），發現四邊形AFDB為正方形，請你證明這個結論．

拓展探索

（3）請你在實踐小組操作的基礎上，再寫出圖（3）中的一個特殊四邊形，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形；（2）證明見解析（3）四邊形AEDG是平行四邊形．

【解析】試題分析：（1）由旋轉的性質和旋轉角度可求得DE∥AF，且DE＝AF，可證明四邊形AFDE為平行四邊形；

（2）由旋轉的性質和旋轉角度可求得DE∥AF，且DE＝AF，可證明四邊形AFDE為平行四邊形，再由旋轉角是90°，即可得出結論；

（3）由旋轉的性質和旋轉角度判斷出△ABE≌△DFG即可得出結論．

試題解析：

（1）證明：∵△DBE是由△ABC繞點B逆時針旋轉90°得到的，△AFG是由△ABC繞點A順時針旋轉90°得到的．

∴DE＝AC＝AF，∠BAF＝α，∠DBE＝∠ABC＝α，∠DEB＝∠C＝α，

∴∠DEB＝∠BAF，

∴DE∥AF，

∵DE＝AF，

∴四邊形AFDE是平行四邊形，

故答案為：平行四邊形；

（2）證明：∵△DBE是由△ABC繞點B逆時針旋轉90°得到的，△AFG是由△ABC繞點A順時針旋轉90°得到的，

∴∠DBA＝∠FAB＝90°，DB＝AB＝AF，

∴∠DBA＋∠FAB＝180°，

∴DB∥AF，

∵DB＝AF，

∴四邊形DBAF是平行四邊形，

∵∠DBA＝90°

∴平行四邊形DBAF是正方形．

（3）四邊形AEDG是平行四邊形．

證明：∵四邊形ABDF是正方形，

∴∠DFA＝∠DBA＝90°，AB＝DF，

又∵∠DBE＝∠AFG＝α，

∴∠EBA＝∠GFD．

在△ABE和△DFG中，，

∴△ABE≌△DFG，

∴AE＝DG，

又∵DE＝AG＝AB，

∴四邊形DEAG是平行四邊形．