Question

【題目】定義：如果函數f（x）在[a，b]上存在x1 ， x2（a＜x1＜x2＜b）滿足 ， ，則稱函數f（x）是[a，b]上的“雙中值函數”．已知函數f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上的“雙中值函數”，則實數a的取值范圍是（ ）
A.
B.（ ）
C.（ ，1）
D.（ ，1）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由題意可知，∵f（x）=x3﹣x2+a，f′（x）=3x2﹣2x 在區間[0，a]存在x1 ， x2（a＜x1＜x2＜b），
滿足f′（x1）=f′（x2）= =a2﹣a，
∵f（x）=x3﹣x2+a，
∴f′（x）=3x2﹣2x，
∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在區間（0，a）有兩個不相等的解．
令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a）
則，
解得； ．
∴實數a的取值范圍是（ ，1）
故選：C
根據題目給出的定義可得f′（x1）=f′（x2）= =a2﹣a，即方程3x2﹣2x=a2﹣a在區間（0，a）有兩個解，利用二次函數的性質可知實數a的取值范圍．