Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB=，O是BC邊的中點，點E是正方形內一動點，OE=2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF，連接AE，CF.

(1)若A，E，O三點共線，求CF的長；

(2)求△CDF的面積的最小值.

Answer 1

【答案】(1)CF=3；(2).

【解析】

（1）由正方形的性質可得AB=BC=AD=CD=2，根據勾股定理可求AO=5，即AE=3，由旋轉的性質可得DE=DF，∠EDF=90°，根據“SAS”可證△ADE≌△CDF，可得AE=CF=3；

（2）由△ADE≌△CDF，可得S△ADE=S△CDF，當OE⊥AD時，S△ADE的值最小，即可求△CDF的面積的最小值．

(1)由旋轉得：，，

∵是邊的中點，

∴，

在中，，

∴，

∵四邊形是正方形，

∴，，

∴，

即，

∴，

在和中，

∴，

∴；

（2）由于，所以點可以看作是以為圓心，2為半徑的半圓上運動，

過點作于點，

∵，

∴，

當，，三點共線，最小，，

∴.