Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2﹣x﹣與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點D，點E（4，n）在拋物線上．

（1）求直線AE的解析式；

（2）點P為直線CE下方拋物線上的一點，連接PC，PE．當△PCE的面積最大時，求P點坐標？

（3）點G是線段CE的中點，將拋物線y=x2﹣x﹣沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經過點D，y′的頂點為點F．在新拋物線y′的對稱軸上，是否存在點Q，使得△FGQ為等腰三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y= x+ (2) P（2，﹣）(3) （3，）或（3，）或（3，2）或（3，﹣）

【解析】試題分析：（1）拋物線的解析式可變形為y= (x+1)(x-3)，從而可得到點A和點B的坐標，然后再求得點E的坐標，設直線AE的解析式為y=kx+b，將點A和點E的坐標代入求得k和b的值，從而得到AE的解析式；

（2）設直線CE的解析式為y=mx-，將點E的坐標代入即可確定直線CE的解析式，過點P作PF∥y軸，交CE與點F，設點P的坐標為（x，x2x），求出PF的值，表示出△EPC的面積，再利用二次函數的性質可求得x的值，從而得到點P的坐標；

（3）由平移后的拋物線經過點D，可得到點F的坐標，利用中點坐標公式可求得點G的坐標，然后分為FG=FQ、GF=GQ，QG=QF三種情況求解即可.

解：（1）∵y=x2-x-，

∴y= (x+1)(x-3).

∴A（-1，0），B（3，0）.

當x=4時，y=.

∴E（4，），

設直線AE的解析式為y=kx+b，將點A和點E的坐標代入得：

，

計算得出：k=，b=，

∴直線AE的解析式為y=x+

（2）設直線CE的解析式為y=mx-，將點E的坐標代入得4m-=，計算出m=.

∴直線CE的解析式為y=x-.

過點P作PF∥y軸，交CE與點F，如圖①所示.

設點P的坐標為（x，x2x），則點F（x，x），

則FP=(x)-(x2x)=-x2+x，

∴△EPC的面積=×(-x2+x)×4=-x2+x.

∴當x=2時，△EPC的面積最大.

∴P（2，-）.

（3）如圖②所示：

∵y′經過點D，y′的頂點為點F，

∴點F（3，-）.

∵點G為CE的中點，

∴G（2，）.

∴FG=，.

∴當FG=FQ時，點Q（3，），Q′（3，）.

當GF=GQ時，點F與點Q″關于y=對稱，

∴點Q″（3，2）.

當QG=QF時，設點Q1的的坐標為（3，a）.

由兩點間的距離公式可以知道：a+=，計算得出：a=-.

∴點Q1的坐標為（3，-）.

綜上所述，點Q的坐標為（3，）或（3，）或（3，2）或（3，-）.