Question

【題目】如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點，過點E作EF//BC交CD于點F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．

（1）求點E到BC的距離；

（2）點P為線段EF上的一個動點，過點P作PM⊥EF交BC于M，過M作MN//AB交折線ADC于N，連結PN，設EP＝x．

①當點N在線段AD上時（如圖2），△PMN的形狀是否發生改變？若不變，求出△PMN的周長；若改變，請說明理由；

②當點N在線段DC上時（如圖3），是否存在點P，使△PMN為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足條件的x的值；若不存在，請說明理由．

圖1 圖2 圖3

Answer 1

【答案】(1) (2) ＋＋4 當x＝2或4或5－時，△PMN為等腰三角形

【解析】【試題分析】（1）在直角三角形BEG中，利用三角函數求解；（2）①如圖4，當點N在線段AD上時，△PMN的形狀不發生改變．過點N作NH⊥EF于H，設PH與NM交于點Q．先求PQ、PN、PM，再求出MN，最后求出△PMN的周長即可；②按照當PM＝PN時， 當MP＝MN時，當NP＝NM時， 三種情況分類討論即可.

【試題解析】

（1）如圖4，過點E作EG⊥BC于G．

在Rt△BEG中， ，∠B＝60°，

所以， ．

所以點E到BC的距離為．

（2）因為AD//EF//BC，E是AB的中點，所以F是DC的中點．

因此EF是梯形ABCD的中位線，EF＝4．

①如圖4，當點N在線段AD上時，△PMN的形狀不發生改變．

過點N作NH⊥EF于H，設PH與NM交于點Q．

在矩形EGMP中，EP＝GM＝x，PM＝EG＝．

在平行四邊形BMQE中，BM＝EQ＝1＋x．

所以BG＝PQ＝1．

因為PM與NH平行且相等，所以PH與NM互相平分，PH＝2PQ＝2．

在Rt△PNH中，NH＝，PH＝2，所以PN＝．

在平行四邊形ABMN中，MN＝AB＝4．

因此△PMN的周長為＋＋4．

②當點N在線段DC上時，△CMN恒為等邊三角形．

如圖5，當PM＝PN時，△PMC與△PNC關于直線PC對稱，點P在∠DCB的平分線上．

在Rt△PCM中，PM＝，∠PCM＝30°，所以MC＝3．

此時M、P分別為BC、EF的中點，x＝2．

如圖6，當MP＝MN時，MP＝MN＝MC＝，x＝GM＝GC－MC＝5－．

如圖7，當NP＝NM時，∠NMP＝∠NPM＝30°，所以∠PNM＝120°．

又因為∠FNM＝120°，所以P與F重合．

此時x＝4．

綜上所述，當x＝2或4或5－時，△PMN為等腰三角形．