Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，如果對角線AC和BD相交并且相等，那么我們把這樣的四邊形稱為等角線四邊形．

（1）①在“平行四邊形、矩形、菱形”中， 一定是等角線四邊形（填寫圖形名稱）；

②若M、N、P、Q分別是等角線四邊形ABCD四邊AB、BC、CD．DA的中點，當對角線AC、BD還要滿足 時，四邊形MNPQ是正方形．

（2）如圖2，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，D為平面內一點．

①若四邊形ABCD是等角線四邊形，且AD=BD，則四邊形ABCD的面積是 ；

②設點E是以C為圓心，1為半徑的圓上的動點，若四邊形ABED是等角線四邊形，寫出四邊形ABED面積的最大值，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①矩形；②AC⊥BD；（2）①3+2 ；②18．

【解析】試題（1）①只有矩形的對角線相等，所以矩形是等角線四邊形；

②當AC⊥BD時，四邊形MNPQ是正方形，首先證明四邊形MNPQ是菱形，再證明有一個角是直角即可；

（2）①如圖2中，作DE⊥AB于E．根據S四邊形ABCD=S△ADE+S梯形DEBC計算，求出相關線段即可；

②如圖3中，設AE與BD相交于點Q，連接CE，只要證明當AC⊥BD且A、C、E共線時，四邊形ABED的面積最大即可．

試題解析：（1）①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，

∵矩形的對角線相等，∴矩形一定是等角線四邊形，

故答案為：矩形．

②當AC⊥BD時，四邊形MNPQ是正方形．

理由：如圖1中，∵M、N、P、Q分別是等角線四邊形ABCD四邊AB、BC、CD、DA的中點，∴PQ=MN=AC，PN=QM=BD，PQ∥AC，MQ∥BD，

∵AC=BD，∴MN=NP=PQ=QM，∴四邊形MNPQ是菱形，

∵∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=90°，∴∠3=90°，

∴四邊形NMPQ是正方形．

故答案為：AC⊥BD．

（2）①如圖2中，作DE⊥AB于E．

在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，∴AC==5，

∵AD=BD，DE⊥AB，∴AE=BD=2，

∵四邊形ABCD是等角線四邊形，∴BD=AC=AD=5，在Rt△BDE中，DE==，∴S四邊形ABCD=S△ADE+S梯形DEBC

=AEDE+（DE+BC）BE=×2×+（+3）×2=3+2，

故答案為：3+2；

②如圖3中，設AE與BD相交于點Q，連接CE，作DH⊥AE于H，BG⊥AE于G．則DH≤DQ，BG≤BQ，∵四邊形ABED是等角線四邊形，∴AE=BD，

∵S四邊形ABED=S△ABE+S△ADE=AEDH+AEBG=AE（GB+DH）≤AE（BQ+QD），即S四邊形ABED≤AEBD，

∴當G、H重合時，即BD⊥AE時，等號成立，

∵AE=BD，∴S四邊形ABED≤AE2，即線段AE最大時，四邊形ABED的面積最大，

∵AE≤AC+CE，∴AE≤5+1，∴AE≤6，∴AE的最大值為6，

∴當A、C、E共線時，取等號，∴四邊形ABED的面積的最大值為×62=18．