Question

【題目】閱讀下面材料：

小丁在研究數學問題時遇到一個定義：對于排好順序的k個數：x1，x2，…，xk，稱為數列Ak：x1，x2，…，xk，其中k為整數且k≥3．

定義V（Ak）=|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+…+|xk﹣2﹣xk﹣1|+|xk﹣1﹣xk|．

例如，若數列A5：1，2，3，4，5，則V（A5）=|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|=4．

根據以上材料，回答下列問題：

（1）已知數列A3：3，5，﹣2，求V（A3）．

（2）已知數列A4：x1，x2，x3，x4，其中x1，x2，x3，x4為4個互不相等的整數，且x1=3，x4=7，V（A4）=4，直接寫出滿足條件的數列A4．

（3）已知數列A5：x1，x2，x3，x4，x5中的5個數均為非負整數，且x1+x2+x3+x4+x5=25，請直接寫出V（A5）的最大值和最小值及對應的數列．

Answer 1

【答案】（1）9（2）數列A4為：3，4，5， 7；3，4，6，7；3，5，4，7；3，5，6，7；3，6，4，7；3，6，5，7（3）5，5，5，5，5

【解析】

（1）根據定義V（Ak）=|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+…+|xk﹣1﹣xk|，代入數據即可求出結論；（2）在數軸上標出x1、x4表示的點，利用數形結合可得出x2、x3在3到7之間，找出所有的搭配方式，即可求解；（3）由數列A5：x1，x2，x3，x4，x5中5個數均為非負數，結合絕對值即可得出0≤V（A5）≤25，由此即可求解．

（1）V（A3）=|3﹣5|+|5﹣（﹣2）|=2+7=9；

（2）V（A4）=|3﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣7|=4可看成3條線段的長度和，如圖所示．

∵7﹣3=4，

∴x2、x3在3到7之間，

∵x1，x2，x3，x4為4個互不相等的整數，

∴數列A4為：3，4，5， 7；3，4，6，7；3，5，4，7；3，5，6，7；3，6，4，7；3，6，5，7．

（3）∵x1，x2，x3，x4，x5中5個數均為非負數，假設x1≥x2≥x3≥x4≥x5，

∴x1≥|x1﹣x2|，x2≥|x2﹣x3|，x3≥|x3﹣x4|，x4≥|x4﹣x5|，x5≥0，

∴0≤|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|≤x1+x2+x3+x4+x5，即0≤V（A5）≤25．

∴V（A5）的最大值為25，對應的數列為：25，0，0，0，0或0，0，0，0，25或0，25，0，0，0或0，0，25，0，0或0，0，0，25，0，

最小值為0，對應的數列為5，5，5，5，5．